{l}{48x+40y=1200}{120x+80y=2800} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 48 x + 40 y = 1200 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

$$y=10$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$48x+40y=1200,120x+80y=2800$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$48x+40y=1200$$

Теңдеудің екі жағынан 40y санын алып тастаңыз.

$$48x=-40y+1200$$

Екі жағын да 48 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{48}\left(-40y+1200\right)$$

\frac{1}{48} санын -40y+1200 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{6}y+25$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{6}+25 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{5}{6}y+25\right)+80y=2800$$

120 санын -\frac{5y}{6}+25 санына көбейтіңіз.

$$-100y+3000+80y=2800$$

-100y санын 80y санына қосу.

$$-20y+3000=2800$$

Теңдеудің екі жағынан 3000 санын алып тастаңыз.

$$-20y=-200$$

Екі жағын да -20 санына бөліңіз.

$$y=10$$

x=-\frac{5}{6}y+25 теңдеуінде 10 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{6}\times 10+25$$

-\frac{5}{6} санын 10 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{25}{3}+25$$

25 санын -\frac{25}{3} санына қосу.

$$x=\frac{50}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{50}{3},y=10$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$48x+40y=1200,120x+80y=2800$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{48\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{48\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{48\times 80-40\times 120}&\frac{48}{48\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 1200+\frac{1}{24}\times 2800\\\frac{1}{8}\times 1200-\frac{1}{20}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\10\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{50}{3},y=10$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$48x+40y=1200,120x+80y=2800$$

48x және 120x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 120 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 48 санына көбейтіңіз.

$$120\times 48x+120\times 40y=120\times 1200,48\times 120x+48\times 80y=48\times 2800$$

Қысқартыңыз.

$$5760x+4800y=144000,5760x+3840y=134400$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 5760x+3840y=134400 мәнін 5760x+4800y=144000 мәнінен алып тастаңыз.

$$5760x-5760x+4800y-3840y=144000-134400$$

5760x санын -5760x санына қосу. 5760x және -5760x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4800y-3840y=144000-134400$$

4800y санын -3840y санына қосу.

$$960y=144000-134400$$

144000 санын -134400 санына қосу.

$$960y=9600$$

Екі жағын да 960 санына бөліңіз.

$$y=10$$

120x+80y=2800 теңдеуінде 10 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$120x+80\times 10=2800$$

80 санын 10 санына көбейтіңіз.

$$120x+800=2800$$

Теңдеудің екі жағынан 800 санын алып тастаңыз.

$$120x=2000$$

Екі жағын да 120 санына бөліңіз.

$$x=\frac{50}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{50}{3},y=10$$