{l}{4x-2y-2=0}{3x+2y-1=0} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y - 2 = 0 } \\ { 3 x + 2 y - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

$$y=-\frac{1}{7}\approx -0.142857143$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x-2y-2=0,3x+2y-1=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x-2y-2=0$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$4x-2y=2$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$4x=2y+2$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+2\right)$$

\frac{1}{4} санын 2+2y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{1+y}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+2y-1=0.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+2y-1=0$$

3 санын \frac{1+y}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}+2y-1=0$$

\frac{3y}{2} санын 2y санына қосу.

$$\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}-1=0$$

\frac{3}{2} санын -1 санына қосу.

$$\frac{7}{2}y+\frac{1}{2}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{1}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{7}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{7}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{1}{7}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} теңдеуінде -\frac{1}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{7}\right)+\frac{1}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{1}{7} санын \frac{1}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{1}{14}+\frac{1}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{2} бөлшегіне -\frac{1}{14} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{3}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{7},y=-\frac{1}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x-2y-2=0,3x+2y-1=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 2+\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}\times 2+\frac{2}{7}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{3}{7},y=-\frac{1}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x-2y-2=0,3x+2y-1=0$$

4x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$3\times 4x+3\left(-2\right)y+3\left(-2\right)=0,4\times 3x+4\times 2y+4\left(-1\right)=0$$

Қысқартыңыз.

$$12x-6y-6=0,12x+8y-4=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x+8y-4=0 мәнін 12x-6y-6=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x-6y-8y-6+4=0$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-6y-8y-6+4=0$$

-6y санын -8y санына қосу.

$$-14y-6+4=0$$

-6 санын 4 санына қосу.

$$-14y-2=0$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$-14y=2$$

Екі жағын да -14 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{7}$$

3x+2y-1=0 теңдеуінде -\frac{1}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+2\left(-\frac{1}{7}\right)-1=0$$

2 санын -\frac{1}{7} санына көбейтіңіз.

$$3x-\frac{2}{7}-1=0$$

-\frac{2}{7} санын -1 санына қосу.

$$3x-\frac{9}{7}=0$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{9}{7} санын қосыңыз.

$$3x=\frac{9}{7}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{3}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{7},y=-\frac{1}{7}$$