{l}{4x-2y=8}{5x+3y=-1} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 8 } \\ { 5 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=-2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x-2y=8,5x+3y=-1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x-2y=8$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$4x=2y+8$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+8\right)$$

\frac{1}{4} санын 8+2y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Басқа теңдеуде \frac{y}{2}+2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x+3y=-1.

$$5\left(\frac{1}{2}y+2\right)+3y=-1$$

5 санын \frac{y}{2}+2 санына көбейтіңіз.

$$\frac{5}{2}y+10+3y=-1$$

\frac{5y}{2} санын 3y санына қосу.

$$\frac{11}{2}y+10=-1$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$\frac{11}{2}y=-11$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{11}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-2$$

x=\frac{1}{2}y+2 теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2\right)+2$$

\frac{1}{2} санын -2 санына көбейтіңіз.

$$x=-1+2$$

2 санын -1 санына қосу.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=-2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x-2y=8,5x+3y=-1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{1}{11}\\-\frac{5}{22}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 8+\frac{1}{11}\left(-1\right)\\-\frac{5}{22}\times 8+\frac{2}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=-2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x-2y=8,5x+3y=-1$$

4x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$5\times 4x+5\left(-2\right)y=5\times 8,4\times 5x+4\times 3y=4\left(-1\right)$$

Қысқартыңыз.

$$20x-10y=40,20x+12y=-4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 20x+12y=-4 мәнін 20x-10y=40 мәнінен алып тастаңыз.

$$20x-20x-10y-12y=40+4$$

20x санын -20x санына қосу. 20x және -20x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-10y-12y=40+4$$

-10y санын -12y санына қосу.

$$-22y=40+4$$

40 санын 4 санына қосу.

$$-22y=44$$

Екі жағын да -22 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

5x+3y=-1 теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x+3\left(-2\right)=-1$$

3 санын -2 санына көбейтіңіз.

$$5x-6=-1$$

Теңдеудің екі жағына да 6 санын қосыңыз.

$$5x=5$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=-2$$