{l}{3x-2y=0}{2x+3y=9} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 0 } \\ { 2 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13} \approx 1.384615385$$

$$y = \frac{27}{13} = 2\frac{1}{13} \approx 2.076923077$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x-2y=0,2x+3y=9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x-2y=0$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$3x=2y$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\times 2y$$

\frac{1}{3} санын 2y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2}{3}y$$

Басқа теңдеуде \frac{2y}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+3y=9.

$$2\times \frac{2}{3}y+3y=9$$

2 санын \frac{2y}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{4}{3}y+3y=9$$

\frac{4y}{3} санын 3y санына қосу.

$$\frac{13}{3}y=9$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{13}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{27}{13}$$

x=\frac{2}{3}y теңдеуінде \frac{27}{13} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{27}{13}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{27}{13} санын \frac{2}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{18}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{27}{13}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x-2y=0,2x+3y=9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 9\\\frac{3}{13}\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\\\frac{27}{13}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{27}{13}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x-2y=0,2x+3y=9$$

3x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=0,3\times 2x+3\times 3y=3\times 9$$

Қысқартыңыз.

$$6x-4y=0,6x+9y=27$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+9y=27 мәнін 6x-4y=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x-4y-9y=-27$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4y-9y=-27$$

-4y санын -9y санына қосу.

$$-13y=-27$$

Екі жағын да -13 санына бөліңіз.

$$y=\frac{27}{13}$$

2x+3y=9 теңдеуінде \frac{27}{13} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+3\times \frac{27}{13}=9$$

3 санын \frac{27}{13} санына көбейтіңіз.

$$2x+\frac{81}{13}=9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{81}{13} санын алып тастаңыз.

$$2x=\frac{36}{13}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{18}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{27}{13}$$