{l}{3x-2y=-4}{2x+y=2} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = - 4 } \\ { 2 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=0$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x-2y=-4,2x+y=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x-2y=-4$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$3x=2y-4$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-4\right)$$

\frac{1}{3} санын -4+2y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-4+2y}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+y=2.

$$2\left(\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}\right)+y=2$$

2 санын \frac{-4+2y}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}+y=2$$

\frac{4y}{3} санын y санына қосу.

$$\frac{7}{3}y-\frac{8}{3}=2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{8}{3} санын қосыңыз.

$$\frac{7}{3}y=\frac{14}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{7}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3} теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{2}{3}\times 2-\frac{4}{3}$$

\frac{2}{3} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{4-4}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{4}{3} бөлшегіне \frac{4}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=0$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=0,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x-2y=-4,2x+y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-4\right)+\frac{2}{7}\times 2\\-\frac{2}{7}\left(-4\right)+\frac{3}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=0,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x-2y=-4,2x+y=2$$

3x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-4\right),3\times 2x+3y=3\times 2$$

Қысқартыңыз.

$$6x-4y=-8,6x+3y=6$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+3y=6 мәнін 6x-4y=-8 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x-4y-3y=-8-6$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4y-3y=-8-6$$

-4y санын -3y санына қосу.

$$-7y=-8-6$$

-8 санын -6 санына қосу.

$$-7y=-14$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$y=2$$

2x+y=2 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+2=2$$

Теңдеудің екі жағынан 2 санын алып тастаңыз.

$$2x=0$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=0$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=0,y=2$$