{l}{3x+y=-1}{x+5y=9} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = - 1 } \\ { x + 5 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-1$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+y=-1,x+5y=9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+y=-1$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$3x=-y-1$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-1\right)$$

\frac{1}{3} санын -y-1 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y-1}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+5y=9.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}+5y=9$$

-\frac{y}{3} санын 5y санына қосу.

$$\frac{14}{3}y-\frac{1}{3}=9$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{1}{3} санын қосыңыз.

$$\frac{14}{3}y=\frac{28}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{14}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3} теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

-\frac{1}{3} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-2-1}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{1}{3} бөлшегіне -\frac{2}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+y=-1,x+5y=9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-1}&-\frac{1}{3\times 5-1}\\-\frac{1}{3\times 5-1}&\frac{3}{3\times 5-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-1\right)-\frac{1}{14}\times 9\\-\frac{1}{14}\left(-1\right)+\frac{3}{14}\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-1,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+y=-1,x+5y=9$$

3x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$3x+y=-1,3x+3\times 5y=3\times 9$$

Қысқартыңыз.

$$3x+y=-1,3x+15y=27$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x+15y=27 мәнін 3x+y=-1 мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-3x+y-15y=-1-27$$

3x санын -3x санына қосу. 3x және -3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$y-15y=-1-27$$

y санын -15y санына қосу.

$$-14y=-1-27$$

-1 санын -27 санына қосу.

$$-14y=-28$$

Екі жағын да -14 санына бөліңіз.

$$y=2$$

x+5y=9 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+5\times 2=9$$

5 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x+10=9$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=2$$