{l}{3(x+y)=5x-y+2}{2(x-y)=3x+y-4} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) = 5 x - y + 2 } \\ { 2 ( x - y ) = 3 x + y - 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 3 мәнін x+y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$3x+3y=5x-y+2$$

Екі жағынан да 5x мәнін қысқартыңыз.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

3x және -5x мәндерін қоссаңыз, -2x мәні шығады.

$$-2x+3y=-y+2$$

Екі жағына y қосу.

$$-2x+3y+y=2$$

3y және y мәндерін қоссаңыз, 4y мәні шығады.

$$-2x+4y=2$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. 2 мәнін x-y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$2x-2y=3x+y-4$$

Екі жағынан да 3x мәнін қысқартыңыз.

$$2x-2y-3x=y-4$$

2x және -3x мәндерін қоссаңыз, -x мәні шығады.

$$-x-2y=y-4$$

Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$-x-2y-y=-4$$

-2y және -y мәндерін қоссаңыз, -3y мәні шығады.

$$-x-3y=-4$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-2x+4y=2$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$-2x=-4y+2$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y+2\right)$$

-\frac{1}{2} санын -4y+2 санына көбейтіңіз.

$$x=2y-1$$

Басқа теңдеуде 2y-1 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -x-3y=-4.

$$-\left(2y-1\right)-3y=-4$$

-1 санын 2y-1 санына көбейтіңіз.

$$-2y+1-3y=-4$$

-2y санын -3y санына қосу.

$$-5y+1=-4$$

Теңдеудің екі жағынан 1 санын алып тастаңыз.

$$-5y=-5$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$y=1$$

x=2y-1 теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=2-1$$

-1 санын 2 санына қосу.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 3 мәнін x+y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$3x+3y=5x-y+2$$

Екі жағынан да 5x мәнін қысқартыңыз.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

3x және -5x мәндерін қоссаңыз, -2x мәні шығады.

$$-2x+3y=-y+2$$

Екі жағына y қосу.

$$-2x+3y+y=2$$

3y және y мәндерін қоссаңыз, 4y мәні шығады.

$$-2x+4y=2$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. 2 мәнін x-y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$2x-2y=3x+y-4$$

Екі жағынан да 3x мәнін қысқартыңыз.

$$2x-2y-3x=y-4$$

2x және -3x мәндерін қоссаңыз, -x мәні шығады.

$$-x-2y=y-4$$

Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$-x-2y-y=-4$$

-2y және -y мәндерін қоссаңыз, -3y мәні шығады.

$$-x-3y=-4$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\times 2-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\times 2-\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 3 мәнін x+y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$3x+3y=5x-y+2$$

Екі жағынан да 5x мәнін қысқартыңыз.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

3x және -5x мәндерін қоссаңыз, -2x мәні шығады.

$$-2x+3y=-y+2$$

Екі жағына y қосу.

$$-2x+3y+y=2$$

3y және y мәндерін қоссаңыз, 4y мәні шығады.

$$-2x+4y=2$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. 2 мәнін x-y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$2x-2y=3x+y-4$$

Екі жағынан да 3x мәнін қысқартыңыз.

$$2x-2y-3x=y-4$$

2x және -3x мәндерін қоссаңыз, -x мәні шығады.

$$-x-2y=y-4$$

Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$-x-2y-y=-4$$

-2y және -y мәндерін қоссаңыз, -3y мәні шығады.

$$-x-3y=-4$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

-2x және -x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына көбейтіңіз.

$$-\left(-2\right)x-4y=-2,-2\left(-1\right)x-2\left(-3\right)y=-2\left(-4\right)$$

Қысқартыңыз.

$$2x-4y=-2,2x+6y=8$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x+6y=8 мәнін 2x-4y=-2 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x-4y-6y=-2-8$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4y-6y=-2-8$$

-4y санын -6y санына қосу.

$$-10y=-2-8$$

-2 санын -8 санына қосу.

$$-10y=-10$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$y=1$$

-x-3y=-4 теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-x-3=-4$$

Теңдеудің екі жағына да 3 санын қосыңыз.

$$-x=-1$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=1$$