{l}{25x+110y=6100}{x+y=50} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{120}{17} = -7\frac{1}{17} \approx -7.058823529$$

$$y = \frac{970}{17} = 57\frac{1}{17} \approx 57.058823529$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$25x+110y=6100$$

Теңдеудің екі жағынан 110y санын алып тастаңыз.

$$25x=-110y+6100$$

Екі жағын да 25 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{25}\left(-110y+6100\right)$$

\frac{1}{25} санын -110y+6100 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{22}{5}y+244$$

Басқа теңдеуде -\frac{22y}{5}+244 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+y=50.

$$-\frac{22}{5}y+244+y=50$$

-\frac{22y}{5} санын y санына қосу.

$$-\frac{17}{5}y+244=50$$

Теңдеудің екі жағынан 244 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{17}{5}y=-194$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{17}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{970}{17}$$

x=-\frac{22}{5}y+244 теңдеуінде \frac{970}{17} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{22}{5}\times \frac{970}{17}+244$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{970}{17} санын -\frac{22}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{4268}{17}+244$$

244 санын -\frac{4268}{17} санына қосу.

$$x=-\frac{120}{17}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-110}&-\frac{110}{25-110}\\-\frac{1}{25-110}&\frac{25}{25-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}&\frac{22}{17}\\\frac{1}{85}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}\times 6100+\frac{22}{17}\times 50\\\frac{1}{85}\times 6100-\frac{5}{17}\times 50\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{120}{17}\\\frac{970}{17}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

25x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 25 санына көбейтіңіз.

$$25x+110y=6100,25x+25y=25\times 50$$

Қысқартыңыз.

$$25x+110y=6100,25x+25y=1250$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 25x+25y=1250 мәнін 25x+110y=6100 мәнінен алып тастаңыз.

$$25x-25x+110y-25y=6100-1250$$

25x санын -25x санына қосу. 25x және -25x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$110y-25y=6100-1250$$

110y санын -25y санына қосу.

$$85y=6100-1250$$

6100 санын -1250 санына қосу.

$$85y=4850$$

Екі жағын да 85 санына бөліңіз.

$$y=\frac{970}{17}$$

x+y=50 теңдеуінде \frac{970}{17} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+\frac{970}{17}=50$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{970}{17} санын алып тастаңыз.

$$x=-\frac{120}{17}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$