{l}{200x+300y=360}{300x+200y=340} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 200 x + 300 y = 360 } \\ { 300 x + 200 y = 340 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$200x+300y=360$$

Теңдеудің екі жағынан 300y санын алып тастаңыз.

$$200x=-300y+360$$

Екі жағын да 200 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{200}\left(-300y+360\right)$$

\frac{1}{200} санын -300y+360 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 300x+200y=340.

$$300\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}\right)+200y=340$$

300 санын -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} санына көбейтіңіз.

$$-450y+540+200y=340$$

-450y санын 200y санына қосу.

$$-250y+540=340$$

Теңдеудің екі жағынан 540 санын алып тастаңыз.

$$-250y=-200$$

Екі жағын да -250 санына бөліңіз.

$$y=\frac{4}{5}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5} теңдеуінде \frac{4}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{9}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{4}{5} санын -\frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{-6+9}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{9}{5} бөлшегіне -\frac{6}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{3}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200\times 200-300\times 300}&-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}\\-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}&\frac{200}{200\times 200-300\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}&\frac{3}{500}\\\frac{3}{500}&-\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}\times 360+\frac{3}{500}\times 340\\\frac{3}{500}\times 360-\frac{1}{250}\times 340\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

200x және 300x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 300 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 200 санына көбейтіңіз.

$$300\times 200x+300\times 300y=300\times 360,200\times 300x+200\times 200y=200\times 340$$

Қысқартыңыз.

$$60000x+90000y=108000,60000x+40000y=68000$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 60000x+40000y=68000 мәнін 60000x+90000y=108000 мәнінен алып тастаңыз.

$$60000x-60000x+90000y-40000y=108000-68000$$

60000x санын -60000x санына қосу. 60000x және -60000x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$90000y-40000y=108000-68000$$

90000y санын -40000y санына қосу.

$$50000y=108000-68000$$

108000 санын -68000 санына қосу.

$$50000y=40000$$

Екі жағын да 50000 санына бөліңіз.

$$y=\frac{4}{5}$$

300x+200y=340 теңдеуінде \frac{4}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$300x+200\times \frac{4}{5}=340$$

200 санын \frac{4}{5} санына көбейтіңіз.

$$300x+160=340$$

Теңдеудің екі жағынан 160 санын алып тастаңыз.

$$300x=180$$

Екі жағын да 300 санына бөліңіз.

$$x=\frac{3}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$