{l}{2x-y=5}{4x+6y=24} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { 4 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8} = 3.375$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-y=5$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$2x=y+5$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

\frac{1}{2} санын y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{5+y}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+6y=24.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=24$$

4 санын \frac{5+y}{2} санына көбейтіңіз.

$$2y+10+6y=24$$

2y санын 6y санына қосу.

$$8y+10=24$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$8y=14$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$y=\frac{7}{4}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} теңдеуінде \frac{7}{4} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{7}{4}+\frac{5}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{7}{4} санын \frac{1}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{7}{8}+\frac{5}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{2} бөлшегіне \frac{7}{8} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{27}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5+\frac{1}{16}\times 24\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 24\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{8}\\\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

2x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 5,2\times 4x+2\times 6y=2\times 24$$

Қысқартыңыз.

$$8x-4y=20,8x+12y=48$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8x+12y=48 мәнін 8x-4y=20 мәнінен алып тастаңыз.

$$8x-8x-4y-12y=20-48$$

8x санын -8x санына қосу. 8x және -8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4y-12y=20-48$$

-4y санын -12y санына қосу.

$$-16y=20-48$$

20 санын -48 санына қосу.

$$-16y=-28$$

Екі жағын да -16 санына бөліңіз.

$$y=\frac{7}{4}$$

4x+6y=24 теңдеуінде \frac{7}{4} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+6\times \frac{7}{4}=24$$

6 санын \frac{7}{4} санына көбейтіңіз.

$$4x+\frac{21}{2}=24$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{21}{2} санын алып тастаңыз.

$$4x=\frac{27}{2}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{27}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$