{l}{2x-y=3}{3x+4y=2} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 3 } \\ { 3 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{14}{11} = 1\frac{3}{11} \approx 1.272727273$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-y=3,3x+4y=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-y=3$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$2x=y+3$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+3\right)$$

\frac{1}{2} санын y+3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{3+y}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+4y=2.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+4y=2$$

3 санын \frac{3+y}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+4y=2$$

\frac{3y}{2} санын 4y санына қосу.

$$\frac{11}{2}y+\frac{9}{2}=2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{9}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{11}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{5}{11}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} теңдеуінде -\frac{5}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{3}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{5}{11} санын \frac{1}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{5}{22}+\frac{3}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{3}{2} бөлшегіне -\frac{5}{22} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{14}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{14}{11},y=-\frac{5}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-y=3,3x+4y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 4-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 3+\frac{1}{11}\times 2\\-\frac{3}{11}\times 3+\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{14}{11},y=-\frac{5}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-y=3,3x+4y=2$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 3,2\times 3x+2\times 4y=2\times 2$$

Қысқартыңыз.

$$6x-3y=9,6x+8y=4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+8y=4 мәнін 6x-3y=9 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x-3y-8y=9-4$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-3y-8y=9-4$$

-3y санын -8y санына қосу.

$$-11y=9-4$$

9 санын -4 санына қосу.

$$-11y=5$$

Екі жағын да -11 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{5}{11}$$

3x+4y=2 теңдеуінде -\frac{5}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+4\left(-\frac{5}{11}\right)=2$$

4 санын -\frac{5}{11} санына көбейтіңіз.

$$3x-\frac{20}{11}=2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{20}{11} санын қосыңыз.

$$3x=\frac{42}{11}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{14}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{14}{11},y=-\frac{5}{11}$$