{l}{2x+3y=13}{6x+y=11} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 13 } \\ { 6 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=13,6x+y=11$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=13$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+13$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+13 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+13}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x+y=11.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}\right)+y=11$$

6 санын \frac{-3y+13}{2} санына көбейтіңіз.

$$-9y+39+y=11$$

-9y санын y санына қосу.

$$-8y+39=11$$

Теңдеудің екі жағынан 39 санын алып тастаңыз.

$$-8y=-28$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$y=\frac{7}{2}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2} теңдеуінде \frac{7}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{2}+\frac{13}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{7}{2} санын -\frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{21}{4}+\frac{13}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{13}{2} бөлшегіне -\frac{21}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{5}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{4},y=\frac{7}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=13,6x+y=11$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 6}&-\frac{3}{2-3\times 6}\\-\frac{6}{2-3\times 6}&\frac{2}{2-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}\times 13+\frac{3}{16}\times 11\\\frac{3}{8}\times 13-\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{5}{4},y=\frac{7}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=13,6x+y=11$$

2x және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 13,2\times 6x+2y=2\times 11$$

Қысқартыңыз.

$$12x+18y=78,12x+2y=22$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x+2y=22 мәнін 12x+18y=78 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x+18y-2y=78-22$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$18y-2y=78-22$$

18y санын -2y санына қосу.

$$16y=78-22$$

78 санын -22 санына қосу.

$$16y=56$$

Екі жағын да 16 санына бөліңіз.

$$y=\frac{7}{2}$$

6x+y=11 теңдеуінде \frac{7}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x+\frac{7}{2}=11$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{7}{2} санын алып тастаңыз.

$$6x=\frac{15}{2}$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{5}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{4},y=\frac{7}{2}$$