{l}{2x+3y=-2}{3x+4y=-1} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = - 2 } \\ { 3 x + 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=5$$

$$y=-4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=-2,3x+4y=-1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=-2$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y-2$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y-2\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y-2 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y-1$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{2}-1 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+4y=-1.

$$3\left(-\frac{3}{2}y-1\right)+4y=-1$$

3 санын -\frac{3y}{2}-1 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{9}{2}y-3+4y=-1$$

-\frac{9y}{2} санын 4y санына қосу.

$$-\frac{1}{2}y-3=-1$$

Теңдеудің екі жағына да 3 санын қосыңыз.

$$-\frac{1}{2}y=2$$

Екі жағын да -2 мәніне көбейтіңіз.

$$y=-4$$

x=-\frac{3}{2}y-1 теңдеуінде -4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-4\right)-1$$

-\frac{3}{2} санын -4 санына көбейтіңіз.

$$x=6-1$$

-1 санын 6 санына қосу.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=-4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=-2,3x+4y=-1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}&\frac{2}{2\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\left(-2\right)+3\left(-1\right)\\3\left(-2\right)-2\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=5,y=-4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=-2,3x+4y=-1$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\left(-2\right),2\times 3x+2\times 4y=2\left(-1\right)$$

Қысқартыңыз.

$$6x+9y=-6,6x+8y=-2$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+8y=-2 мәнін 6x+9y=-6 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+9y-8y=-6+2$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$9y-8y=-6+2$$

9y санын -8y санына қосу.

$$y=-6+2$$

-6 санын 2 санына қосу.

$$y=-4$$

3x+4y=-1 теңдеуінде -4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+4\left(-4\right)=-1$$

4 санын -4 санына көбейтіңіз.

$$3x-16=-1$$

Теңдеудің екі жағына да 16 санын қосыңыз.

$$3x=15$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=-4$$