{l}{18x+y=9}{10y+x=(10x+y)+27} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 18 x + y = 9 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{6}{19}\approx 0.315789474$$

$$y = \frac{63}{19} = 3\frac{6}{19} \approx 3.315789474$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 10x мәнін қысқартыңыз.

$$10y+x-10x=y+27$$

x және -10x мәндерін қоссаңыз, -9x мәні шығады.

$$10y-9x=y+27$$

Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$10y-9x-y=27$$

10y және -y мәндерін қоссаңыз, 9y мәні шығады.

$$9y-9x=27$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$18x+y=9,-9x+9y=27$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$18x+y=9$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$18x=-y+9$$

Екі жағын да 18 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{18}\left(-y+9\right)$$

\frac{1}{18} санын -y+9 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{18}y+\frac{1}{2}$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{18}+\frac{1}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -9x+9y=27.

$$-9\left(-\frac{1}{18}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

-9 санын -\frac{y}{18}+\frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

\frac{y}{2} санын 9y санына қосу.

$$\frac{19}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{9}{2} санын қосыңыз.

$$\frac{19}{2}y=\frac{63}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{19}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{63}{19}$$

x=-\frac{1}{18}y+\frac{1}{2} теңдеуінде \frac{63}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{18}\times \frac{63}{19}+\frac{1}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{63}{19} санын -\frac{1}{18} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{7}{38}+\frac{1}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{2} бөлшегіне -\frac{7}{38} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{6}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{6}{19},y=\frac{63}{19}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 10x мәнін қысқартыңыз.

$$10y+x-10x=y+27$$

x және -10x мәндерін қоссаңыз, -9x мәні шығады.

$$10y-9x=y+27$$

Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$10y-9x-y=27$$

10y және -y мәндерін қоссаңыз, 9y мәні шығады.

$$9y-9x=27$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$18x+y=9,-9x+9y=27$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}18&1\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\27\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}18&1\\-9&9\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&1\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\27\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\27\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{18\times 9-\left(-9\right)}&-\frac{1}{18\times 9-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{18\times 9-\left(-9\right)}&\frac{18}{18\times 9-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\27\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&-\frac{1}{171}\\\frac{1}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\27\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\times 9-\frac{1}{171}\times 27\\\frac{1}{19}\times 9+\frac{2}{19}\times 27\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\\\frac{63}{19}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{6}{19},y=\frac{63}{19}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 10x мәнін қысқартыңыз.

$$10y+x-10x=y+27$$

x және -10x мәндерін қоссаңыз, -9x мәні шығады.

$$10y-9x=y+27$$

Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$10y-9x-y=27$$

10y және -y мәндерін қоссаңыз, 9y мәні шығады.

$$9y-9x=27$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$18x+y=9,-9x+9y=27$$

18x және -9x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -9 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 18 санына көбейтіңіз.

$$-9\times 18x-9y=-9\times 9,18\left(-9\right)x+18\times 9y=18\times 27$$

Қысқартыңыз.

$$-162x-9y=-81,-162x+162y=486$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -162x+162y=486 мәнін -162x-9y=-81 мәнінен алып тастаңыз.

$$-162x+162x-9y-162y=-81-486$$

-162x санын 162x санына қосу. -162x және 162x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-9y-162y=-81-486$$

-9y санын -162y санына қосу.

$$-171y=-81-486$$

-81 санын -486 санына қосу.

$$-171y=-567$$

Екі жағын да -171 санына бөліңіз.

$$y=\frac{63}{19}$$

-9x+9y=27 теңдеуінде \frac{63}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-9x+9\times \frac{63}{19}=27$$

9 санын \frac{63}{19} санына көбейтіңіз.

$$-9x+\frac{567}{19}=27$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{567}{19} санын алып тастаңыз.

$$-9x=-\frac{54}{19}$$

Екі жағын да -9 санына бөліңіз.

$$x=\frac{6}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{6}{19},y=\frac{63}{19}$$