{l}{150y+200x=1000}{100y+400x=1200} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 150 y + 200 x = 1000 } \\ { 100 y + 400 x = 1200 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$150y+200x=1000$$

Теңдеудің екі жағынан 200x санын алып тастаңыз.

$$150y=-200x+1000$$

Екі жағын да 150 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{150}\left(-200x+1000\right)$$

\frac{1}{150} санын -200x+1000 санына көбейтіңіз.

$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-4x+20}{3} мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 100y+400x=1200.

$$100\left(-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}\right)+400x=1200$$

100 санын \frac{-4x+20}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{400}{3}x+\frac{2000}{3}+400x=1200$$

-\frac{400x}{3} санын 400x санына қосу.

$$\frac{800}{3}x+\frac{2000}{3}=1200$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{2000}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{800}{3}x=\frac{1600}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{800}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=2$$

y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3} теңдеуінде 2 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-\frac{4}{3}\times 2+\frac{20}{3}$$

-\frac{4}{3} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{-8+20}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{20}{3} бөлшегіне -\frac{8}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=4,x=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{400}{150\times 400-200\times 100}&-\frac{200}{150\times 400-200\times 100}\\-\frac{100}{150\times 400-200\times 100}&\frac{150}{150\times 400-200\times 100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}&-\frac{1}{200}\\-\frac{1}{400}&\frac{3}{800}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}\times 1000-\frac{1}{200}\times 1200\\-\frac{1}{400}\times 1000+\frac{3}{800}\times 1200\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=4,x=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

150y және 100y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 100 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 150 санына көбейтіңіз.

$$100\times 150y+100\times 200x=100\times 1000,150\times 100y+150\times 400x=150\times 1200$$

Қысқартыңыз.

$$15000y+20000x=100000,15000y+60000x=180000$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15000y+60000x=180000 мәнін 15000y+20000x=100000 мәнінен алып тастаңыз.

$$15000y-15000y+20000x-60000x=100000-180000$$

15000y санын -15000y санына қосу. 15000y және -15000y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$20000x-60000x=100000-180000$$

20000x санын -60000x санына қосу.

$$-40000x=100000-180000$$

100000 санын -180000 санына қосу.

$$-40000x=-80000$$

Екі жағын да -40000 санына бөліңіз.

$$x=2$$

100y+400x=1200 теңдеуінде 2 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$100y+400\times 2=1200$$

400 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$100y+800=1200$$

Теңдеудің екі жағынан 800 санын алып тастаңыз.

$$100y=400$$

Екі жағын да 100 санына бөліңіз.

$$y=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=4,x=2$$