{l}{14x-3y=-63}{7x+2y=-7} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 14 x - 3 y = - 63 } \\ { 7 x + 2 y = - 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-3$$

$$y=7$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$14x-3y=-63$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$14x=3y-63$$

Екі жағын да 14 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{14}\left(3y-63\right)$$

\frac{1}{14} санын -63+3y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{14}y-\frac{9}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y}{14}-\frac{9}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 7x+2y=-7.

$$7\left(\frac{3}{14}y-\frac{9}{2}\right)+2y=-7$$

7 санын \frac{3y}{14}-\frac{9}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{3}{2}y-\frac{63}{2}+2y=-7$$

\frac{3y}{2} санын 2y санына қосу.

$$\frac{7}{2}y-\frac{63}{2}=-7$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{63}{2} санын қосыңыз.

$$\frac{7}{2}y=\frac{49}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{7}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=7$$

x=\frac{3}{14}y-\frac{9}{2} теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{14}\times 7-\frac{9}{2}$$

\frac{3}{14} санын 7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3-9}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{9}{2} бөлшегіне \frac{3}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{14}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{49}&\frac{3}{49}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{49}\left(-63\right)+\frac{3}{49}\left(-7\right)\\-\frac{1}{7}\left(-63\right)+\frac{2}{7}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-3,y=7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

14x және 7x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 14 санына көбейтіңіз.

$$7\times 14x+7\left(-3\right)y=7\left(-63\right),14\times 7x+14\times 2y=14\left(-7\right)$$

Қысқартыңыз.

$$98x-21y=-441,98x+28y=-98$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 98x+28y=-98 мәнін 98x-21y=-441 мәнінен алып тастаңыз.

$$98x-98x-21y-28y=-441+98$$

98x санын -98x санына қосу. 98x және -98x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-21y-28y=-441+98$$

-21y санын -28y санына қосу.

$$-49y=-441+98$$

-441 санын 98 санына қосу.

$$-49y=-343$$

Екі жағын да -49 санына бөліңіз.

$$y=7$$

7x+2y=-7 теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$7x+2\times 7=-7$$

2 санын 7 санына көбейтіңіз.

$$7x+14=-7$$

Теңдеудің екі жағынан 14 санын алып тастаңыз.

$$7x=-21$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=7$$