{l}{x/3-y/2=4}{x+y/12=2} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 4 } \\ { x + \frac { y } { 12 } = 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y = -\frac{120}{19} = -6\frac{6}{19} \approx -6.315789474$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 6 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,2.

$$2x-3y=24$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 12 мәніне көбейтіңіз.

$$12x+y=24$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-3y=24$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$2x=3y+24$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

\frac{1}{2} санын 24+3y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

Басқа теңдеуде \frac{3y}{2}+12 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 12x+y=24.

$$12\left(\frac{3}{2}y+12\right)+y=24$$

12 санын \frac{3y}{2}+12 санына көбейтіңіз.

$$18y+144+y=24$$

18y санын y санына қосу.

$$19y+144=24$$

Теңдеудің екі жағынан 144 санын алып тастаңыз.

$$19y=-120$$

Екі жағын да 19 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{120}{19}$$

x=\frac{3}{2}y+12 теңдеуінде -\frac{120}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{19}\right)+12$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{120}{19} санын \frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{180}{19}+12$$

12 санын -\frac{180}{19} санына қосу.

$$x=\frac{48}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 6 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,2.

$$2x-3y=24$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 12 мәніне көбейтіңіз.

$$12x+y=24$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{2-\left(-3\times 12\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{6}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}\times 24+\frac{3}{38}\times 24\\-\frac{6}{19}\times 24+\frac{1}{19}\times 24\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\-\frac{120}{19}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 6 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,2.

$$2x-3y=24$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 12 мәніне көбейтіңіз.

$$12x+y=24$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

2x және 12x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 12 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$12\times 2x+12\left(-3\right)y=12\times 24,2\times 12x+2y=2\times 24$$

Қысқартыңыз.

$$24x-36y=288,24x+2y=48$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 24x+2y=48 мәнін 24x-36y=288 мәнінен алып тастаңыз.

$$24x-24x-36y-2y=288-48$$

24x санын -24x санына қосу. 24x және -24x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-36y-2y=288-48$$

-36y санын -2y санына қосу.

$$-38y=288-48$$

288 санын -48 санына қосу.

$$-38y=240$$

Екі жағын да -38 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{120}{19}$$

12x+y=24 теңдеуінде -\frac{120}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$12x-\frac{120}{19}=24$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{120}{19} санын қосыңыз.

$$12x=\frac{576}{19}$$

Екі жағын да 12 санына бөліңіз.

$$x=\frac{48}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$