{l}{x^2/4+y^2/3=1}{y=k(x+1)} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { y = k ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

Ауыстыру және квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 12 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 4,3.

$$3x^{2}+4y^{2}=12$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. k мәнін x+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$y=kx+k$$

Басқа теңдеуде kx+k мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 3x^{2}+4y^{2}=12.

$$3x^{2}+4\left(kx+k\right)^{2}=12$$

kx+k санының квадратын шығарыңыз.

$$3x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=12$$

4 санын k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2} санына көбейтіңіз.

$$3x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

3x^{2} санын 4k^{2}x^{2} санына қосу.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

Теңдеудің екі жағынан 12 санын алып тастаңыз.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}-12=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 3+4k^{2} санын a мәніне, 4\times 2kk санын b мәніне және 4k^{2}-12 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{\left(8k^{2}\right)^{2}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

4\times 2kk санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-4 санын 3+4k^{2} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+\left(-16k^{2}-12\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-12-16k^{2} санын 4k^{2}-12 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+144+144k^{2}-64k^{4}}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

64k^{4} санын 144+144k^{2}-64k^{4} санына қосу.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{144k^{2}+144}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

144k^{2}+144 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

2 санын 3+4k^{2} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} теңдеуін шешіңіз. -8k^{2} санын 12\sqrt{k^{2}+1} санына қосу.

$$x=\frac{-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1} санын 6+8k^{2} санына бөліңіз.

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} теңдеуін шешіңіз. 12\sqrt{k^{2}+1} мәнінен -8k^{2} мәнін алу.

$$x=\frac{-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1} санын 6+8k^{2} санына бөліңіз.

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x мәнінің екі шешімі бар: \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} және -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}. Екі теңдеуді де қанағаттандыратын y мәнінің сәйкес шешімін табу үшін, y=kx+k теңдеуінде \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} санын x мәнімен ауыстырыңыз.

$$y=k\times \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}+k$$

k санын \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k$$

Енді екі теңдеуді де қанағаттандыратын y мәнінің сәйкес шешімін табу үшін, y=kx+k теңдеуінде -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} санын x мәнімен ауыстырыңыз да, теңдеуді шешіңіз.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)+k$$

k санын -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} санына көбейтіңіз.

$$y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k,x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k,x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x, y мәнін табыңыз (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{; }x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{3-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+3}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{3}i}{2}\end{matrix}\right.$$