{l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

Ауыстыру және квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 4 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 4,2.

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да my мәнін қысқартыңыз.

$$x-my=1$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

x мәні бар мүшені теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x+\left(-m\right)y=1 теңдеуіндегі x мәнін табыңыз.

$$x+\left(-m\right)y=1$$

Теңдеудің екі жағынан \left(-m\right)y санын алып тастаңыз.

$$x=my+1$$

Басқа теңдеуде my+1 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2y^{2}+x^{2}=4.

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

my+1 санының квадратын шығарыңыз.

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

2y^{2} санын m^{2}y^{2} санына қосу.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 2+1m^{2} санын a мәніне, 1\times 1\times 2m санын b мәніне және -3 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

1\times 1\times 2m санының квадратын шығарыңыз.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

-4 санын 2+1m^{2} санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

-8-4m^{2} санын -3 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

4m^{2} санын 24+12m^{2} санына қосу.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

24+16m^{2} санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

2 санын 2+1m^{2} санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

Енді ± плюс болған кездегі y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} теңдеуін шешіңіз. -2m санын 2\sqrt{6+4m^{2}} санына қосу.

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

-2m+2\sqrt{6+4m^{2}} санын 4+2m^{2} санына бөліңіз.

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

Енді ± минус болған кездегі y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} теңдеуін шешіңіз. 2\sqrt{6+4m^{2}} мәнінен -2m мәнін алу.

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

-2m-2\sqrt{6+4m^{2}} санын 4+2m^{2} санына бөліңіз.

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

y мәнінің екі шешімі бар: \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} және -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}. Екі теңдеуді де қанағаттандыратын x мәнінің сәйкес шешімін табу үшін, x=my+1 теңдеуінде \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} санын y мәнімен ауыстырыңыз.

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

m санын \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} санын 1 санына қосу.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

Енді екі теңдеуді де қанағаттандыратын x мәнінің сәйкес шешімін табу үшін, x=my+1 теңдеуінде -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} санын y мәнімен ауыстырыңыз да, теңдеуді шешіңіз.

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

m санын -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} санына көбейтіңіз.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) санын 1 санына қосу.

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

x, y мәнін табыңыз (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$