{l}{1/7x+5/7y=1}{5/6x+1/4y=-2} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 7 } x + \frac { 5 } { 7 } y = 1 } \\ { \frac { 5 } { 6 } x + \frac { 1 } { 4 } y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-3$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}y=1,\frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}y=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5y}{7} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{7}x=-\frac{5}{7}y+1$$

Екі жағын да 7 мәніне көбейтіңіз.

$$x=7\left(-\frac{5}{7}y+1\right)$$

7 санын -\frac{5y}{7}+1 санына көбейтіңіз.

$$x=-5y+7$$

Басқа теңдеуде -5y+7 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, \frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2.

$$\frac{5}{6}\left(-5y+7\right)+\frac{1}{4}y=-2$$

\frac{5}{6} санын -5y+7 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{35}{6}+\frac{1}{4}y=-2$$

-\frac{25y}{6} санын \frac{y}{4} санына қосу.

$$-\frac{47}{12}y+\frac{35}{6}=-2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{35}{6} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{47}{12}y=-\frac{47}{6}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{47}{12} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=-5y+7 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-5\times 2+7$$

-5 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=-10+7$$

7 санын -10 санына қосу.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}y=1,\frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}-\frac{5}{7}\times \frac{5}{6}}&-\frac{\frac{5}{7}}{\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}-\frac{5}{7}\times \frac{5}{6}}\\-\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}-\frac{5}{7}\times \frac{5}{6}}&\frac{\frac{1}{7}}{\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}-\frac{5}{7}\times \frac{5}{6}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{21}{47}&\frac{60}{47}\\\frac{70}{47}&-\frac{12}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{21}{47}+\frac{60}{47}\left(-2\right)\\\frac{70}{47}-\frac{12}{47}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-3,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}y=1,\frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2$$

\frac{x}{7} және \frac{5x}{6} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{5}{6} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{7} санына көбейтіңіз.

$$\frac{5}{6}\times \frac{1}{7}x+\frac{5}{6}\times \frac{5}{7}y=\frac{5}{6},\frac{1}{7}\times \frac{5}{6}x+\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}y=\frac{1}{7}\left(-2\right)$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{5}{42}x+\frac{25}{42}y=\frac{5}{6},\frac{5}{42}x+\frac{1}{28}y=-\frac{2}{7}$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \frac{5}{42}x+\frac{1}{28}y=-\frac{2}{7} мәнін \frac{5}{42}x+\frac{25}{42}y=\frac{5}{6} мәнінен алып тастаңыз.

$$\frac{5}{42}x-\frac{5}{42}x+\frac{25}{42}y-\frac{1}{28}y=\frac{5}{6}+\frac{2}{7}$$

\frac{5x}{42} санын -\frac{5x}{42} санына қосу. \frac{5x}{42} және -\frac{5x}{42} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\frac{25}{42}y-\frac{1}{28}y=\frac{5}{6}+\frac{2}{7}$$

\frac{25y}{42} санын -\frac{y}{28} санына қосу.

$$\frac{47}{84}y=\frac{5}{6}+\frac{2}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{6} бөлшегіне \frac{2}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$\frac{47}{84}y=\frac{47}{42}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{47}{84} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

\frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$\frac{5}{6}x+\frac{1}{4}\times 2=-2$$

\frac{1}{4} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$\frac{5}{6}x+\frac{1}{2}=-2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{1}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{5}{6}x=-\frac{5}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{6} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=2$$