{c}{2x+y=3}{3x-5y=11} шешу

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + y = 3 } \\ { 3 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=-1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+y=3,3x-5y=11$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+y=3$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$2x=-y+3$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

\frac{1}{2} санын -y+3 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+3}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-5y=11.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-5y=11$$

3 санын \frac{-y+3}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}-5y=11$$

-\frac{3y}{2} санын -5y санына қосу.

$$-\frac{13}{2}y+\frac{9}{2}=11$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{9}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{13}{2}y=\frac{13}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{13}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-1$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{3}{2}$$

-\frac{1}{2} санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1+3}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{3}{2} бөлшегіне \frac{1}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=-1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+y=3,3x-5y=11$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&1\\3&-5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-5\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 3+\frac{1}{13}\times 11\\\frac{3}{13}\times 3-\frac{2}{13}\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=-1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+y=3,3x-5y=11$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3y=3\times 3,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 11$$

Қысқартыңыз.

$$6x+3y=9,6x-10y=22$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-10y=22 мәнін 6x+3y=9 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+3y+10y=9-22$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3y+10y=9-22$$

3y санын 10y санына қосу.

$$13y=9-22$$

9 санын -22 санына қосу.

$$13y=-13$$

Екі жағын да 13 санына бөліңіз.

$$y=-1$$

3x-5y=11 теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-5\left(-1\right)=11$$

-5 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$3x+5=11$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$3x=6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=-1$$