4/x-5/x+1=1 шешу

$$\frac { 4 } { x } - \frac { 5 } { x + 1 } = 1$$

x мәнін табыңыз (complex solution)

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1.236067977$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)\approx -3.236067977$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

x айнымалы мәні -1,0 мәндерінің ешқайсысына тең бола алмайды, себебі нөлге бөлу анықталмаған. Теңдеудің екі жағын да x\left(x+1\right) санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

x+1 мәнін 4 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

x мәнін x+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

Екі жағынан да x^{2} мәнін қысқартыңыз.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

4x және -x мәндерін қоссаңыз, 3x мәні шығады.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

-5 шығару үшін, -1 және 5 сандарын көбейтіңіз.

$$3x+4-5x-x^{2}=0$$

3x және -5x мәндерін қоссаңыз, -2x мәні шығады.

$$-2x+4-x^{2}=0$$

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$-x^{2}-2x+4=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде -1 санын a мәніне, -2 санын b мәніне және 4 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

-2 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

-4 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

4 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\left(-1\right)}$$

4 санын 16 санына қосу.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\left(-1\right)}$$

20 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

-2 санына қарама-қарсы сан 2 мәніне тең.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

2 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2} теңдеуін шешіңіз. 2 санын 2\sqrt{5} санына қосу.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+2}{-2}$$

2+2\sqrt{5} санын -2 санына бөліңіз.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2} теңдеуін шешіңіз. 2\sqrt{5} мәнінен 2 мәнін алу.

$$x=\frac{2-2\sqrt{5}}{-2}$$

2-2\sqrt{5} санын -2 санына бөліңіз.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right) x=\sqrt{5}-1$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

x айнымалы мәні -1,0 мәндерінің ешқайсысына тең бола алмайды, себебі нөлге бөлу анықталмаған. Теңдеудің екі жағын да x\left(x+1\right) санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

x+1 мәнін 4 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

x мәнін x+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

Екі жағынан да x^{2} мәнін қысқартыңыз.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

4x және -x мәндерін қоссаңыз, 3x мәні шығады.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

Екі жағынан да 4 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$3x-x\times 5-x^{2}=-4$$

-5 шығару үшін, -1 және 5 сандарын көбейтіңіз.

$$3x-5x-x^{2}=-4$$

3x және -5x мәндерін қоссаңыз, -2x мәні шығады.

$$-2x-x^{2}=-4$$

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$-x^{2}-2x=-4$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

-1 санына бөлген кезде -1 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=-\frac{4}{-1}$$

-2 санын -1 санына бөліңіз.

$$x^{2}+2x=-\frac{4}{-1}$$

-4 санын -1 санына бөліңіз.

$$x^{2}+2x=4$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын 2 санын 2 мәніне бөлсеңіз, 1 саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына 1 квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

1 санының квадратын шығарыңыз.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

4 санын 1 санына қосу.

$$x^{2}+2x+1=5$$

x^{2}+2x+1 көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Қысқартыңыз.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

Теңдеудің екі жағынан 1 санын алып тастаңыз.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

x мәнін табыңыз

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1.236067977$$

$$x=-\sqrt{5}-1\approx -3.236067977$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

x айнымалы мәні -1,0 мәндерінің ешқайсысына тең бола алмайды, себебі нөлге бөлу анықталмаған. Теңдеудің екі жағын да x\left(x+1\right) санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

x+1 мәнін 4 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

x мәнін x+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

Екі жағынан да x^{2} мәнін қысқартыңыз.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

4x және -x мәндерін қоссаңыз, 3x мәні шығады.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

-5 шығару үшін, -1 және 5 сандарын көбейтіңіз.

$$3x+4-5x-x^{2}=0$$

3x және -5x мәндерін қоссаңыз, -2x мәні шығады.

$$-2x+4-x^{2}=0$$

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$-x^{2}-2x+4=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде -1 санын a мәніне, -2 санын b мәніне және 4 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

-2 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

-4 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

4 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\left(-1\right)}$$

4 санын 16 санына қосу.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\left(-1\right)}$$

20 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

-2 санына қарама-қарсы сан 2 мәніне тең.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

2 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2} теңдеуін шешіңіз. 2 санын 2\sqrt{5} санына қосу.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+2}{-2}$$

2+2\sqrt{5} санын -2 санына бөліңіз.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2} теңдеуін шешіңіз. 2\sqrt{5} мәнінен 2 мәнін алу.

$$x=\frac{2-2\sqrt{5}}{-2}$$

2-2\sqrt{5} санын -2 санына бөліңіз.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right) x=\sqrt{5}-1$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

x айнымалы мәні -1,0 мәндерінің ешқайсысына тең бола алмайды, себебі нөлге бөлу анықталмаған. Теңдеудің екі жағын да x\left(x+1\right) санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

x+1 мәнін 4 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

x мәнін x+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

Екі жағынан да x^{2} мәнін қысқартыңыз.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

4x және -x мәндерін қоссаңыз, 3x мәні шығады.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

Екі жағынан да 4 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$3x-x\times 5-x^{2}=-4$$

-5 шығару үшін, -1 және 5 сандарын көбейтіңіз.

$$3x-5x-x^{2}=-4$$

3x және -5x мәндерін қоссаңыз, -2x мәні шығады.

$$-2x-x^{2}=-4$$

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$-x^{2}-2x=-4$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

-1 санына бөлген кезде -1 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=-\frac{4}{-1}$$

-2 санын -1 санына бөліңіз.

$$x^{2}+2x=-\frac{4}{-1}$$

-4 санын -1 санына бөліңіз.

$$x^{2}+2x=4$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын 2 санын 2 мәніне бөлсеңіз, 1 саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына 1 квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

1 санының квадратын шығарыңыз.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

4 санын 1 санына қосу.

$$x^{2}+2x+1=5$$

x^{2}+2x+1 көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Қысқартыңыз.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

Теңдеудің екі жағынан 1 санын алып тастаңыз.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$