გადაწყვიტეთ x-x^2=3

$$x- { x }^{ 2 } =3$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{2}\approx 0.5-1.658312395i$$

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{2}\approx 0.5+1.658312395i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}+x=3$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+x-3=3-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-x^{2}+x-3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, 1-ით b და -3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-3\right)}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-3\right)}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-3\right)}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 1 -12-ს.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-11}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ -11-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-1±\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{11}i}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{11}i}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1 i\sqrt{11}-ს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{-2}$$

გაყავით -1+i\sqrt{11} -2-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{11}i}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{11} -1-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{-2}$$

გაყავით -1-i\sqrt{11} -2-ზე.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{11}i}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=3$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=\frac{3}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=\frac{3}{-1}$$

გაყავით 1 -1-ზე.

$$x^{2}-x=\frac{3}{-1}$$

გაყავით 3 -1-ზე.

$$x^{2}-x=-3$$

გაყავით -1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-3+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ -3 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{2}$$