გადაწყვიტეთ x^2-10x+90=0

$$x ^ { 2 } - 10 x + 90 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=5+\sqrt{65}i\approx 5+8.062257748i$$

$$x=-\sqrt{65}i+5\approx 5-8.062257748i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}-10x+90=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -10-ით b და 90-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 90}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 90}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 90.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-360}}{2}$$

მიუმატეთ 100 -360-ს.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-260}}{2}$$

აიღეთ -260-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{65}i}{2}$$

-10-ის საპირისპიროა 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 10 2i\sqrt{65}-ს.

$$x=\frac{10+2\sqrt{65}i}{2}$$

გაყავით 10+2i\sqrt{65} 2-ზე.

$$x=5+\sqrt{65}i$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{65} 10-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{65}i+10}{2}$$

გაყავით 10-2i\sqrt{65} 2-ზე.

$$x=-\sqrt{65}i+5$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x+90=0$$

გამოაკელით 90 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}-10x+90-90=-90$$

90-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}-10x=-90$$

გაყავით -10, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -5-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -5-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-90+\left(-5\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$x^{2}-10x+25=-90+25$$

მიუმატეთ -90 25-ს.

$$x^{2}-10x+25=-65$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-10x+25. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=-65$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-65}$$

გაამარტივეთ.

$$x-5=\sqrt{65}i x-5=-\sqrt{65}i$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$