გადაწყვიტეთ x^2+5x=84

$$x ^ { 2 } + 5 x = 84$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-12$$

$$x=7$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

გამოაკელით 84 ორივე მხარეს.

$$x^{2}+5x-84=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+5x-84 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=5 ab=-84$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 5.

$$a=-7 b=12$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x-7\right)\left(x+12\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-7=0 და x+12=0.

$$x=7 x=-12$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 84 ორივე მხარეს.

$$x^{2}+5x-84=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-84. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=5 ab=1\left(-84\right)=-84$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 5.

$$a=-7 b=12$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+5x-84, როგორც \left(x^{2}-7x\right)+\left(12x-84\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(12x-84\right)$$

x-ის პირველ, 12-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-7\right)+12\left(x-7\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-7 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-7\right)\left(x+12\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-7=0 და x+12=0.

$$x=7 x=-12$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+5x=84$$

გამოაკელით 84 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+5x-84=84-84$$

84-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+5x-84=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 5-ით b და -84-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-84\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-84\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -84.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+336}}{2}$$

მიუმატეთ 25 336-ს.

$$x=\frac{-5±\sqrt{361}}{2}$$

აიღეთ 361-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-5±19}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±19}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -5 19-ს.

$$x=\frac{14}{2}$$

გაყავით 14 2-ზე.

$$x=7$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±19}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 19 -5-ს.

$$x=-\frac{24}{2}$$

გაყავით -24 2-ზე.

$$x=-12$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=7 x=-12$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x=84$$

გაყავით 5, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=84+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=84+\frac{25}{4}$$

მიუმატეთ 84 \frac{25}{4}-ს.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{361}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+5x+\frac{25}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{19}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{19}{2}$$

გამოაკელით \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=7 x=-12$$