გადაწყვიტეთ x^2+18x-65=0

$$x ^ { 2 } + 18 x - 65 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\sqrt{146}-9\approx 3.083045974$$

$$x=-\left(\sqrt{146}+9\right)\approx -21.083045974$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+18x-65=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 18-ით b და -65-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-65\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-65\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -65.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+260}}{2}$$

მიუმატეთ 324 260-ს.

$$x=\frac{-18±\sqrt{584}}{2}$$

აიღეთ 584-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{146}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-18±2\sqrt{146}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -18 2\sqrt{146}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{146}-18}{2}$$

გაყავით -18+2\sqrt{146} 2-ზე.

$$x=\sqrt{146}-9$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-18±2\sqrt{146}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{146} -18-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{146}-18}{2}$$

გაყავით -18-2\sqrt{146} 2-ზე.

$$x=-\sqrt{146}-9$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{146}-9 x=-\sqrt{146}-9$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+18x-65=0$$

მიუმატეთ 65 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+18x-65-\left(-65\right)=-\left(-65\right)$$

-65-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+18x=-\left(-65\right)$$

გამოაკელით -65 0-ს.

$$x^{2}+18x=65$$

გაყავით 18, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 9-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 9-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+18x+9^{2}=65+9^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 9.

$$x^{2}+18x+81=65+81$$

მიუმატეთ 65 81-ს.

$$x^{2}+18x+81=146$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+18x+81. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}=146$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+9\right)^{2}}=\sqrt{146}$$

გაამარტივეთ.

$$x+9=\sqrt{146} x+9=-\sqrt{146}$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{146}-9 x=-\sqrt{146}-9$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\sqrt{146}-9\approx 3.083045974$$

$$x=-\sqrt{146}-9\approx -21.083045974$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+18x-65=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 18-ით b და -65-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-65\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-65\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -65.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+260}}{2}$$

მიუმატეთ 324 260-ს.

$$x=\frac{-18±\sqrt{584}}{2}$$

აიღეთ 584-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{146}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-18±2\sqrt{146}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -18 2\sqrt{146}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{146}-18}{2}$$

გაყავით -18+2\sqrt{146} 2-ზე.

$$x=\sqrt{146}-9$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-18±2\sqrt{146}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{146} -18-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{146}-18}{2}$$

გაყავით -18-2\sqrt{146} 2-ზე.

$$x=-\sqrt{146}-9$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{146}-9 x=-\sqrt{146}-9$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+18x-65=0$$

მიუმატეთ 65 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+18x-65-\left(-65\right)=-\left(-65\right)$$

-65-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+18x=-\left(-65\right)$$

გამოაკელით -65 0-ს.

$$x^{2}+18x=65$$

გაყავით 18, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 9-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 9-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+18x+9^{2}=65+9^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 9.

$$x^{2}+18x+81=65+81$$

მიუმატეთ 65 81-ს.

$$x^{2}+18x+81=146$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+18x+81. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}=146$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+9\right)^{2}}=\sqrt{146}$$

გაამარტივეთ.

$$x+9=\sqrt{146} x+9=-\sqrt{146}$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{146}-9 x=-\sqrt{146}-9$$