გადაწყვიტეთ x^2+100x-7500=0

$$x ^ { 2 } + 100 x - 7500 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-150$$

$$x=50$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+100x-7500 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=100 ab=-7500$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -7500.

$$-1,7500 -2,3750 -3,2500 -4,1875 -5,1500 -6,1250 -10,750 -12,625 -15,500 -20,375 -25,300 -30,250 -50,150 -60,125 -75,100$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+7500=7499 -2+3750=3748 -3+2500=2497 -4+1875=1871 -5+1500=1495 -6+1250=1244 -10+750=740 -12+625=613 -15+500=485 -20+375=355 -25+300=275 -30+250=220 -50+150=100 -60+125=65 -75+100=25$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 100.

$$a=-50 b=150$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x-50\right)\left(x+150\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-50=0 და x+150=0.

$$x=50 x=-150$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-7500. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=100 ab=1\left(-7500\right)=-7500$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -7500.

$$-1,7500 -2,3750 -3,2500 -4,1875 -5,1500 -6,1250 -10,750 -12,625 -15,500 -20,375 -25,300 -30,250 -50,150 -60,125 -75,100$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+7500=7499 -2+3750=3748 -3+2500=2497 -4+1875=1871 -5+1500=1495 -6+1250=1244 -10+750=740 -12+625=613 -15+500=485 -20+375=355 -25+300=275 -30+250=220 -50+150=100 -60+125=65 -75+100=25$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 100.

$$a=-50 b=150$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+100x-7500, როგორც \left(x^{2}-50x\right)+\left(150x-7500\right).

$$\left(x^{2}-50x\right)+\left(150x-7500\right)$$

x-ის პირველ, 150-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-50\right)+150\left(x-50\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-50 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-50\right)\left(x+150\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-50=0 და x+150=0.

$$x=50 x=-150$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+100x-7500=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 100-ით b და -7500-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-7500\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 100.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-7500\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -7500.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+30000}}{2}$$

მიუმატეთ 10000 30000-ს.

$$x=\frac{-100±\sqrt{40000}}{2}$$

აიღეთ 40000-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-100±200}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-100±200}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -100 200-ს.

$$x=\frac{100}{2}$$

გაყავით 100 2-ზე.

$$x=50$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-100±200}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 200 -100-ს.

$$x=-\frac{300}{2}$$

გაყავით -300 2-ზე.

$$x=-150$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=50 x=-150$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+100x-7500=0$$

მიუმატეთ 7500 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+100x-7500-\left(-7500\right)=-\left(-7500\right)$$

-7500-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+100x=-\left(-7500\right)$$

გამოაკელით -7500 0-ს.

$$x^{2}+100x=7500$$

გაყავით 100, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 50-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 50-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+100x+50^{2}=7500+50^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 50.

$$x^{2}+100x+2500=7500+2500$$

მიუმატეთ 7500 2500-ს.

$$x^{2}+100x+2500=10000$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+100x+2500. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+50\right)^{2}=10000$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+50\right)^{2}}=\sqrt{10000}$$

გაამარტივეთ.

$$x+50=100 x+50=-100$$

გამოაკელით 50 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=50 x=-150$$