გადაწყვიტეთ u^2-41u+400=0

$$u ^ { 2 } - 41 u + 400 = 0$$

ამოხსნა u-ისთვის

$$u=16$$

$$u=25$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ u^{2}-41u+400 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: u^{2}+\left(a+b\right)u+ab=\left(u+a\right)\left(u+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-41 ab=400$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -41.

$$a=-25 b=-16$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(u+a\right)\left(u+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(u-25\right)\left(u-16\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით u-25=0 და u-16=0.

$$u=25 u=16$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც u^{2}+au+bu+400. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-41 ab=1\times 400=400$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -41.

$$a=-25 b=-16$$

ხელახლა დაწერეთ u^{2}-41u+400, როგორც \left(u^{2}-25u\right)+\left(-16u+400\right).

$$\left(u^{2}-25u\right)+\left(-16u+400\right)$$

u-ის პირველ, -16-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$u\left(u-25\right)-16\left(u-25\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი u-25 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(u-25\right)\left(u-16\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით u-25=0 და u-16=0.

$$u=25 u=16$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$u^{2}-41u+400=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -41-ით b და 400-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 400}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -41.

$$u=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 400}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 400.

$$u=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-1600}}{2}$$

მიუმატეთ 1681 -1600-ს.

$$u=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{81}}{2}$$

აიღეთ 81-ის კვადრატული ფესვი.

$$u=\frac{-\left(-41\right)±9}{2}$$

-41-ის საპირისპიროა 41.

$$u=\frac{41±9}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება u=\frac{41±9}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 41 9-ს.

$$u=\frac{50}{2}$$

გაყავით 50 2-ზე.

$$u=25$$

ახლა ამოხსენით განტოლება u=\frac{41±9}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 9 41-ს.

$$u=\frac{32}{2}$$

გაყავით 32 2-ზე.

$$u=16$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$u=25 u=16$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$u^{2}-41u+400=0$$

გამოაკელით 400 განტოლების ორივე მხარეს.

$$u^{2}-41u+400-400=-400$$

400-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$u^{2}-41u=-400$$

გაყავით -41, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{41}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{41}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$u^{2}-41u+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}=-400+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{41}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$u^{2}-41u+\frac{1681}{4}=-400+\frac{1681}{4}$$

მიუმატეთ -400 \frac{1681}{4}-ს.

$$u^{2}-41u+\frac{1681}{4}=\frac{81}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად u^{2}-41u+\frac{1681}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u-\frac{41}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(u-\frac{41}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$u-\frac{41}{2}=\frac{9}{2} u-\frac{41}{2}=-\frac{9}{2}$$

მიუმატეთ \frac{41}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$u=25 u=16$$