გადაწყვიტეთ bx+cy=a+b,ax[1/a-b-1/a+b]+cy[1/b-a-1/b+a]=frac{2a}{a+b}

$$b x + c y = a + b , a x [ \frac { 1 } { a - b } - \frac { 1 } { a + b } ] + c y [ \frac { 1 } { b - a } - \frac { 1 } { b + a } ] = \frac { 2 a } { a + b }$$

ამოხსნა x, y-ისთვის (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{a}{b}\text{, }y=\frac{b}{c}\text{, }&c\neq 0\text{ and }b\neq 0\text{ and }b\neq a\text{ and }b\neq -a\\x=\frac{b-cy}{b}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$bx+cy=a+b,\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$bx+cy=a+b$$

გამოაკელით cy განტოლების ორივე მხარეს.

$$bx=\left(-c\right)y+a+b$$

ორივე მხარე გაყავით b-ზე.

$$x=\frac{1}{b}\left(\left(-c\right)y+a+b\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{b}-ზე -cy+a+b.

$$x=\left(-\frac{c}{b}\right)y+\frac{a+b}{b}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-cy+a+b}{b}-ით x მეორე განტოლებაში, \left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}.

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)a\left(\left(-\frac{c}{b}\right)y+\frac{a+b}{b}\right)+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

გაამრავლეთ a\left(\left(a-b\right)^{-1}-\left(a+b\right)^{-1}\right)-ზე \frac{-cy+a+b}{b}.

$$\left(-\frac{2ac}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\right)y+\frac{2a}{a-b}+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

მიუმატეთ -\frac{2acy}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} \frac{2cay}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}-ს.

$$\frac{4ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y+\frac{2a}{a-b}=\frac{2a}{a+b}$$

გამოაკელით \frac{2a}{a-b} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{4ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y=-\frac{4ab}{a^{2}-b^{2}}$$

ორივე მხარე გაყავით \frac{4ca}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-ზე.

$$y=\frac{b}{c}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{b}{c}-ით y აქ: x=\left(-\frac{c}{b}\right)y+\frac{a+b}{b}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\left(-\frac{c}{b}\right)\times \frac{b}{c}+\frac{a+b}{b}$$

გაამრავლეთ -\frac{c}{b}-ზე \frac{b}{c}.

$$x=-1+\frac{a+b}{b}$$

მიუმატეთ \frac{a+b}{b} -1-ს.

$$x=\frac{a}{b}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$bx+cy=a+b,\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}b&c\\-\frac{2ab}{\left(-a+b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ca}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)\left(b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\right)}&-\frac{c}{b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}\\-\frac{\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}{b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}&\frac{b}{b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2b}&\frac{a}{4b}-\frac{b}{4a}\\\frac{1}{2c}&\frac{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}{4ac}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2b}\left(a+b\right)+\left(\frac{a}{4b}-\frac{b}{4a}\right)\times \frac{2a}{a+b}\\\frac{1}{2c}\left(a+b\right)+\frac{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}{4ac}\times \frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{b}\\\frac{b}{c}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$bx+cy=a+b,\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

იმისათვის, რომ bx და \frac{2abx}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს a\left(\left(a-b\right)^{-1}-\left(a+b\right)^{-1}\right)-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს b-ზე.

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)abx+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)acy=\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)a\left(a+b\right),b\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+b\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=b\times \frac{2a}{a+b}$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a-b},\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a+b}$$

გამოაკელით \frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a+b} \frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a-b}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\left(-\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\right)x+\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y+\left(-\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\right)y=\frac{2ab}{a-b}-\frac{2ab}{a+b}$$

მიუმატეთ \frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} -\frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}-ს. პირობები \frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} და -\frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y+\left(-\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\right)y=\frac{2ab}{a-b}-\frac{2ab}{a+b}$$

მიუმატეთ \frac{2abcy}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} -\frac{2bcay}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}-ს.

$$\frac{4abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a-b}-\frac{2ab}{a+b}$$

მიუმატეთ \frac{2ab}{a-b} -\frac{2ba}{a+b}-ს.

$$\frac{4abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{4ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}$$

ორივე მხარე გაყავით \frac{4bca}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}-ზე.

$$y=\frac{b}{c}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{b}{c}-ით y აქ: \left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)c\times \frac{b}{c}=\frac{2a}{a+b}$$

გაამრავლეთ c\left(\left(b-a\right)^{-1}-\left(b+a\right)^{-1}\right)-ზე \frac{b}{c}.

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\frac{2ab}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}=\frac{2a}{a+b}$$

გამოაკელით \frac{2ab}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax=-\frac{2a^{2}}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}$$

ორივე მხარე გაყავით a\left(\left(a-b\right)^{-1}-\left(a+b\right)^{-1}\right)-ზე.

$$x=\frac{a}{b}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c}$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{a}{b}\text{, }y=\frac{b}{c}\text{, }&c\neq 0\text{ and }b\neq 0\text{ and }|b|\neq |a|\\x=\frac{b-cy}{b}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$bx+cy=a+b,\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$bx+cy=a+b$$

გამოაკელით cy განტოლების ორივე მხარეს.

$$bx=\left(-c\right)y+a+b$$

ორივე მხარე გაყავით b-ზე.

$$x=\frac{1}{b}\left(\left(-c\right)y+a+b\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{b}-ზე -cy+a+b.

$$x=\left(-\frac{c}{b}\right)y+\frac{a+b}{b}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-cy+a+b}{b}-ით x მეორე განტოლებაში, \left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}.

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)a\left(\left(-\frac{c}{b}\right)y+\frac{a+b}{b}\right)+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

გაამრავლეთ a\left(\left(a-b\right)^{-1}-\left(a+b\right)^{-1}\right)-ზე \frac{-cy+a+b}{b}.

$$\left(-\frac{2ac}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\right)y+\frac{2a}{a-b}+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

მიუმატეთ -\frac{2acy}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} \frac{2cay}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}-ს.

$$\frac{4ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y+\frac{2a}{a-b}=\frac{2a}{a+b}$$

გამოაკელით \frac{2a}{a-b} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{4ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y=-\frac{4ab}{a^{2}-b^{2}}$$

ორივე მხარე გაყავით \frac{4ca}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-ზე.

$$y=\frac{b}{c}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{b}{c}-ით y აქ: x=\left(-\frac{c}{b}\right)y+\frac{a+b}{b}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\left(-\frac{c}{b}\right)\times \frac{b}{c}+\frac{a+b}{b}$$

გაამრავლეთ -\frac{c}{b}-ზე \frac{b}{c}.

$$x=-1+\frac{a+b}{b}$$

მიუმატეთ \frac{a+b}{b} -1\text{, }|b|\neq |a|-ს.

$$x=\frac{a}{b}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$bx+cy=a+b,\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}b&c\\-\frac{2ab}{\left(-a+b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ca}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)\left(b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\right)}&-\frac{c}{b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}\\-\frac{\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}{b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}&\frac{b}{b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2b}&\frac{a}{4b}-\frac{b}{4a}\\\frac{1}{2c}&\frac{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}{4ac}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2b}\left(a+b\right)+\left(\frac{a}{4b}-\frac{b}{4a}\right)\times \frac{2a}{a+b}\\\frac{1}{2c}\left(a+b\right)+\frac{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}{4ac}\times \frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{b}\\\frac{b}{c}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$bx+cy=a+b,\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

იმისათვის, რომ bx და \frac{2abx}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს a\left(\left(a-b\right)^{-1}-\left(a+b\right)^{-1}\right)-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს b-ზე.

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)abx+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)acy=\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)a\left(a+b\right),b\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+b\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=b\times \frac{2a}{a+b}$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a-b},\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a+b}$$

გამოაკელით \frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a+b} \frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a-b}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\left(-\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\right)x+\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y+\left(-\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\right)y=\frac{2ab}{a-b}-\frac{2ab}{a+b}$$

მიუმატეთ \frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} -\frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}-ს. პირობები \frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} და -\frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y+\left(-\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\right)y=\frac{2ab}{a-b}-\frac{2ab}{a+b}$$

მიუმატეთ \frac{2abcy}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} -\frac{2bcay}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}-ს.

$$\frac{4abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a-b}-\frac{2ab}{a+b}$$

მიუმატეთ \frac{2ab}{a-b} -\frac{2ba}{a+b}-ს.

$$\frac{4abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{4ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}$$

ორივე მხარე გაყავით \frac{4bca}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}-ზე.

$$y=\frac{b}{c}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{b}{c}-ით y აქ: \left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)c\times \frac{b}{c}=\frac{2a}{a+b}$$

გაამრავლეთ c\left(\left(b-a\right)^{-1}-\left(b+a\right)^{-1}\right)-ზე \frac{b}{c}.

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\frac{2ab}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}=\frac{2a}{a+b}$$

გამოაკელით \frac{2ab}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax=-\frac{2a^{2}}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}$$

ორივე მხარე გაყავით a\left(\left(a-b\right)^{-1}-\left(a+b\right)^{-1}\right)-ზე.

$$x=\frac{a}{b}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c}$$