გადაწყვიტეთ 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1.777777778$$

$$x=1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 25 ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

გამოაკელით 25 9-ს -16-ის მისაღებად.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 9x^{2}+ax+bx-16. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 7.

$$a=-9 b=16$$

ხელახლა დაწერეთ 9x^{2}+7x-16, როგორც \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

9x-ის პირველ, 16-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-1=0 და 9x+16=0.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

გამოაკელით 25 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

25-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

გამოაკელით 25 9-ს.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, 7-ით b და -16-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -36-ზე -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 49 576-ს.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

აიღეთ 625-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±25}{18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -7 25-ს.

$$x=\frac{18}{18}$$

გაყავით 18 18-ზე.

$$x=1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±25}{18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 25 -7-ს.

$$x=-\frac{32}{18}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-32}{18} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{16}{9}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

გამოაკელით 9 25-ს.

$$9x^{2}+7x=16$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

გაყავით \frac{7}{9}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{7}{18}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{7}{18}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{7}{18} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

მიუმატეთ \frac{16}{9} \frac{49}{324}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

გამოაკელით \frac{7}{18} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$