გადაწყვიტეთ 9x^2-12x+4=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+4=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 9x^{2}+ax+bx+4. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -12.

$$a=-6 b=-6$$

ხელახლა დაწერეთ 9x^{2}-12x+4, როგორც \left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right).

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right)$$

3x-ის პირველ, -2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3x\left(3x-2\right)-2\left(3x-2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x-2\right)\left(3x-2\right)$$

გადაწერეთ ბინომის კვადრატის სახით.

$$\left(3x-2\right)^{2}$$

განტოლების პასუხის მისაღებად ამოხსენით 3x-2=0.

$$x=\frac{2}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, -12-ით b და 4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -36-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 144 -144-ს.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

აიღეთ 0-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=-\frac{-12}{2\times 9}$$

-12-ის საპირისპიროა 12.

$$x=\frac{12}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$x=\frac{12}{18}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{12}{18} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{2}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x^{2}-12x+4-4=-4$$

4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9x^{2}-12x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{4}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{4}{9}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-12}{9} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{4}{9}$$

გაყავით -\frac{4}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{2}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{2}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{2}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

მიუმატეთ -\frac{4}{9} \frac{4}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=0$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{2}{3}=0 x-\frac{2}{3}=0$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{2}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია. ამონახსბები იგივეა.

$$x=\frac{2}{3}$$