გადაწყვიტეთ 9x^2+6x+3=0

$$9 { x }^{ 2 } +6x+3 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0.333333333+0.471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0.333333333-0.471404521i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$9x^{2}+6x+3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, 6-ით b და 3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\times 3}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\times 3}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\times 3}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -36-ზე 3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-108}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 36 -108-ს.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-72}}{2\times 9}$$

აიღეთ -72-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{2}i}{18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±6\sqrt{2}i}{18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -6 6i\sqrt{2}-ს.

$$x=\frac{-6+6\sqrt{2}i}{18}$$

გაყავით -6+6i\sqrt{2} 18-ზე.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±6\sqrt{2}i}{18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 6i\sqrt{2} -6-ს.

$$x=\frac{-6\sqrt{2}i-6}{18}$$

გაყავით -6-6i\sqrt{2} 18-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+6x+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+6x+3-3=-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9x^{2}+6x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{3}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{3}{9}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{6}{9} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{3}{9}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-3}{9} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

გაყავით \frac{2}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{3} \frac{1}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

გამოაკელით \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$