გადაწყვიტეთ 8x+6x(11-x)=100

$$8 x + 6 x ( 11 - x ) = 100$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{769} + 37}{6} \approx 10.788474875$$

$$x = \frac{37 - \sqrt{769}}{6} \approx 1.544858459$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 6x 11-x-ზე.

$$8x+66x-6x^{2}=100$$

დააჯგუფეთ 8x და 66x, რათა მიიღოთ 74x.

$$74x-6x^{2}=100$$

გამოაკელით 100 ორივე მხარეს.

$$74x-6x^{2}-100=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-6x^{2}+74x-100=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -6-ით a, 74-ით b და -100-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-74±\sqrt{74^{2}-4\left(-6\right)\left(-100\right)}}{2\left(-6\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 74.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-4\left(-6\right)\left(-100\right)}}{2\left(-6\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -6.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476+24\left(-100\right)}}{2\left(-6\right)}$$

გაამრავლეთ 24-ზე -100.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-2400}}{2\left(-6\right)}$$

მიუმატეთ 5476 -2400-ს.

$$x=\frac{-74±\sqrt{3076}}{2\left(-6\right)}$$

აიღეთ 3076-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-74±2\sqrt{769}}{2\left(-6\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -6.

$$x=\frac{-74±2\sqrt{769}}{-12}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-74±2\sqrt{769}}{-12} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -74 2\sqrt{769}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{769}-74}{-12}$$

გაყავით -74+2\sqrt{769} -12-ზე.

$$x=\frac{37-\sqrt{769}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-74±2\sqrt{769}}{-12} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{769} -74-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{769}-74}{-12}$$

გაყავით -74-2\sqrt{769} -12-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{769}+37}{6}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{37-\sqrt{769}}{6} x=\frac{\sqrt{769}+37}{6}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 6x 11-x-ზე.

$$8x+66x-6x^{2}=100$$

დააჯგუფეთ 8x და 66x, რათა მიიღოთ 74x.

$$74x-6x^{2}=100$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+74x=100$$

ორივე მხარე გაყავით -6-ზე.

$$\frac{-6x^{2}+74x}{-6}=\frac{100}{-6}$$

-6-ზე გაყოფა აუქმებს -6-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{74}{-6}x=\frac{100}{-6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{74}{-6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{37}{3}x=\frac{100}{-6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{100}{-6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{37}{3}x=-\frac{50}{3}$$

გაყავით -\frac{37}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{37}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{37}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{37}{3}x+\left(-\frac{37}{6}\right)^{2}=-\frac{50}{3}+\left(-\frac{37}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{37}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{37}{3}x+\frac{1369}{36}=-\frac{50}{3}+\frac{1369}{36}$$

მიუმატეთ -\frac{50}{3} \frac{1369}{36}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{37}{3}x+\frac{1369}{36}=\frac{769}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{37}{3}x+\frac{1369}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{37}{6}\right)^{2}=\frac{769}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{37}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{769}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{37}{6}=\frac{\sqrt{769}}{6} x-\frac{37}{6}=-\frac{\sqrt{769}}{6}$$

მიუმატეთ \frac{37}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{769}+37}{6} x=\frac{37-\sqrt{769}}{6}$$