გადაწყვიტეთ 7x^2-12x+8=0

$$7 x ^ { 2 } - 12 x + 8 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7}\approx 0.857142857+0.638876565i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}\approx 0.857142857-0.638876565i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$7x^{2}-12x+8=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 7-ით a, -12-ით b და 8-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

აიყვანეთ კვადრატში -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-28\times 8}}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ -28-ზე 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 7}$$

მიუმატეთ 144 -224-ს.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 7}$$

აიღეთ -80-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 7}$$

-12-ის საპირისპიროა 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 7.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 12 4i\sqrt{5}-ს.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{14}$$

გაყავით 12+4i\sqrt{5} 14-ზე.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4i\sqrt{5} 12-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{14}$$

გაყავით 12-4i\sqrt{5} 14-ზე.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7} x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-12x+8=0$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x^{2}-12x+8-8=-8$$

8-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$7x^{2}-12x=-8$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$\frac{7x^{2}-12x}{7}=-\frac{8}{7}$$

7-ზე გაყოფა აუქმებს 7-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x=-\frac{8}{7}$$

გაყავით -\frac{12}{7}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{6}{7}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{6}{7}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{8}{7}+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{6}{7} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{8}{7}+\frac{36}{49}$$

მიუმატეთ -\frac{8}{7} \frac{36}{49}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{20}{49}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{20}{49}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{49}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{6}{7}=\frac{2\sqrt{5}i}{7} x-\frac{6}{7}=-\frac{2\sqrt{5}i}{7}$$

მიუმატეთ \frac{6}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7} x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$