გადაწყვიტეთ 6x^2-9x-60=0

$$6 x ^ { 2 } - 9 x - 60 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=4$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$2x^{2}-3x-20=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2x^{2}+ax+bx-20. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -3.

$$a=-8 b=5$$

ხელახლა დაწერეთ 2x^{2}-3x-20, როგორც \left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right)$$

2x-ის პირველ, 5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(x-4\right)+5\left(x-4\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-4 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-4\right)\left(2x+5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-4=0 და 2x+5=0.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 6-ით a, -9-ით b და -60-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

აიყვანეთ კვადრატში -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 6.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-24\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -24-ზე -60.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1440}}{2\times 6}$$

მიუმატეთ 81 1440-ს.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1521}}{2\times 6}$$

აიღეთ 1521-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±39}{2\times 6}$$

-9-ის საპირისპიროა 9.

$$x=\frac{9±39}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 6.

$$x=\frac{9±39}{12}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{9±39}{12} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 9 39-ს.

$$x=\frac{48}{12}$$

გაყავით 48 12-ზე.

$$x=4$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{9±39}{12} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 39 9-ს.

$$x=-\frac{30}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-30}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{5}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

მიუმატეთ 60 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x^{2}-9x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$6x^{2}-9x=-\left(-60\right)$$

გამოაკელით -60 0-ს.

$$6x^{2}-9x=60$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$\frac{6x^{2}-9x}{6}=\frac{60}{6}$$

6-ზე გაყოფა აუქმებს 6-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{6}\right)x=\frac{60}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-9}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{60}{6}$$

გაყავით 60 6-ზე.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=10$$

გაყავით -\frac{3}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{3}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{3}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{3}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

მიუმატეთ 10 \frac{9}{16}-ს.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

მიუმატეთ \frac{3}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$