გადაწყვიტეთ 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 6x^{2}+ax+bx-7. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 19.

$$a=-2 b=21$$

ხელახლა დაწერეთ 6x^{2}+19x-7, როგორც \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

2x-ის პირველ, 7-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x-1=0 და 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 6-ით a, 19-ით b და -7-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

აიყვანეთ კვადრატში 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -24-ზე -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

მიუმატეთ 361 168-ს.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

აიღეთ 529-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-19±23}{12} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -19 23-ს.

$$x=\frac{4}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{4}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-19±23}{12} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 23 -19-ს.

$$x=-\frac{42}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-42}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{7}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

მიუმატეთ 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

გამოაკელით -7 0-ს.

$$6x^{2}+19x=7$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

6-ზე გაყოფა აუქმებს 6-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

გაყავით \frac{19}{6}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{19}{12}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{19}{12}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{19}{12} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

მიუმატეთ \frac{7}{6} \frac{361}{144}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

გამოაკელით \frac{19}{12} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$