გადაწყვიტეთ 56x^2-30x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -30x+1=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{1}{28}\approx 0.035714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 56x^{2}+ax+bx+1. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-30 ab=56\times 1=56$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -30.

$$a=-28 b=-2$$

ხელახლა დაწერეთ 56x^{2}-30x+1, როგორც \left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right)$$

28x-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$28x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-1\right)\left(28x-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x-1=0 და 28x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 56-ით a, -30-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

აიყვანეთ კვადრატში -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 56}}{2\times 56}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 56.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 56}$$

მიუმატეთ 900 -224-ს.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 56}$$

აიღეთ 676-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 56}$$

-30-ის საპირისპიროა 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 56}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 56.

$$x=\frac{30±26}{112}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{30±26}{112} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 30 26-ს.

$$x=\frac{56}{112}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{56}{112} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 56-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{30±26}{112} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 26 30-ს.

$$x=\frac{4}{112}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{4}{112} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{28}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$56x^{2}-30x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$56x^{2}-30x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 56-ზე.

$$\frac{56x^{2}-30x}{56}=-\frac{1}{56}$$

56-ზე გაყოფა აუქმებს 56-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-30}{56} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x=-\frac{1}{56}$$

გაყავით -\frac{15}{28}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{15}{56}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{15}{56}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{15}{56} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=-\frac{1}{56}+\frac{225}{3136}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{56} \frac{225}{3136}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=\frac{169}{3136}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}=\frac{169}{3136}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{3136}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{15}{56}=\frac{13}{56} x-\frac{15}{56}=-\frac{13}{56}$$

მიუმატეთ \frac{15}{56} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$