გადაწყვიტეთ 50x-2x^2-300=0

$$50 x - 2 x ^ { 2 } - 300 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=10$$

$$x=15$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$25x-x^{2}-150=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-x^{2}+25x-150=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -x^{2}+ax+bx-150. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=25 ab=-\left(-150\right)=150$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 150.

$$1,150 2,75 3,50 5,30 6,25 10,15$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+150=151 2+75=77 3+50=53 5+30=35 6+25=31 10+15=25$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 25.

$$a=15 b=10$$

ხელახლა დაწერეთ -x^{2}+25x-150, როგორც \left(-x^{2}+15x\right)+\left(10x-150\right).

$$\left(-x^{2}+15x\right)+\left(10x-150\right)$$

-x-ის პირველ, 10-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-x\left(x-15\right)+10\left(x-15\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-15 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-15\right)\left(-x+10\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-15=0 და -x+10=0.

$$x=15 x=10$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-2x^{2}+50x-300=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -2-ით a, 50-ით b და -300-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-2\right)\left(-300\right)}}{2\left(-2\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 50.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-2\right)\left(-300\right)}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -2.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500+8\left(-300\right)}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 8-ზე -300.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-2400}}{2\left(-2\right)}$$

მიუმატეთ 2500 -2400-ს.

$$x=\frac{-50±\sqrt{100}}{2\left(-2\right)}$$

აიღეთ 100-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-50±10}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -2.

$$x=\frac{-50±10}{-4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-50±10}{-4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -50 10-ს.

$$x=-\frac{40}{-4}$$

გაყავით -40 -4-ზე.

$$x=10$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-50±10}{-4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 10 -50-ს.

$$x=-\frac{60}{-4}$$

გაყავით -60 -4-ზე.

$$x=15$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=10 x=15$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+50x-300=0$$

მიუმატეთ 300 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x^{2}+50x-300-\left(-300\right)=-\left(-300\right)$$

-300-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-2x^{2}+50x=-\left(-300\right)$$

გამოაკელით -300 0-ს.

$$-2x^{2}+50x=300$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$\frac{-2x^{2}+50x}{-2}=\frac{300}{-2}$$

-2-ზე გაყოფა აუქმებს -2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{50}{-2}x=\frac{300}{-2}$$

გაყავით 50 -2-ზე.

$$x^{2}-25x=\frac{300}{-2}$$

გაყავით 300 -2-ზე.

$$x^{2}-25x=-150$$

გაყავით -25, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{25}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{25}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-150+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{25}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-150+\frac{625}{4}$$

მიუმატეთ -150 \frac{625}{4}-ს.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{25}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-25x+\frac{625}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5}{2}$$

მიუმატეთ \frac{25}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=15 x=10$$