გადაწყვიტეთ 5x^2-4x-1=0

$$5 x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 5x^{2}+ax+bx-1. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=-5 b=1$$

ხელახლა დაწერეთ 5x^{2}-4x-1, როგორც \left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ 5x 5x^{2}-5x-ში.

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-1=0 და 5x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, -4-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 16 20-ს.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

აიღეთ 36-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\times 5}$$

-4-ის საპირისპიროა 4.

$$x=\frac{4±6}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{4±6}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{4±6}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 4 6-ს.

$$x=\frac{10}{10}$$

გაყავით 10 10-ზე.

$$x=1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{4±6}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 6 4-ს.

$$x=-\frac{2}{10}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-2}{10} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{1}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}-4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}-4x=-\left(-1\right)$$

გამოაკელით -1 0-ს.

$$5x^{2}-4x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{1}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

გაყავით -\frac{4}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{2}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{2}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{2}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

მიუმატეთ \frac{1}{5} \frac{4}{25}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

მიუმატეთ \frac{2}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$