გადაწყვიტეთ 5x^2-35x-90=0

$$5 x ^ { 2 } - 35 x - 90 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-2$$

$$x=9$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x^{2}-7x-18=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-18. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-7 ab=1\left(-18\right)=-18$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -7.

$$a=-9 b=2$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}-7x-18, როგორც \left(x^{2}-9x\right)+\left(2x-18\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(2x-18\right)$$

x-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-9\right)+2\left(x-9\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-9 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-9\right)\left(x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-9=0 და x+2=0.

$$x=9 x=-2$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}-35x-90=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, -35-ით b და -90-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{\left(-35\right)^{2}-4\times 5\left(-90\right)}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში -35.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-4\times 5\left(-90\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-20\left(-90\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე -90.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225+1800}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 1225 1800-ს.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{3025}}{2\times 5}$$

აიღეთ 3025-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±55}{2\times 5}$$

-35-ის საპირისპიროა 35.

$$x=\frac{35±55}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{35±55}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{35±55}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 35 55-ს.

$$x=\frac{90}{10}$$

გაყავით 90 10-ზე.

$$x=9$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{35±55}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 55 35-ს.

$$x=-\frac{20}{10}$$

გაყავით -20 10-ზე.

$$x=-2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=9 x=-2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-35x-90=0$$

მიუმატეთ 90 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}-35x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

-90-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}-35x=-\left(-90\right)$$

გამოაკელით -90 0-ს.

$$5x^{2}-35x=90$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}-35x}{5}=\frac{90}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{35}{5}\right)x=\frac{90}{5}$$

გაყავით -35 5-ზე.

$$x^{2}-7x=\frac{90}{5}$$

გაყავით 90 5-ზე.

$$x^{2}-7x=18$$

გაყავით -7, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=18+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=18+\frac{49}{4}$$

მიუმატეთ 18 \frac{49}{4}-ს.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{121}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-7x+\frac{49}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{11}{2}$$

მიუმატეთ \frac{7}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=9 x=-2$$