გადაწყვიტეთ 5x^2-2x+1=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i=0.2+0.4i$$

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i=0.2-0.4i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}-2x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, -2-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 4 -20-ს.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-16}}{2\times 5}$$

აიღეთ -16-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4i}{2\times 5}$$

-2-ის საპირისპიროა 2.

$$x=\frac{2±4i}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{2±4i}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±4i}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 2 4i-ს.

$$x=\frac{2+4i}{10}$$

გაყავით 2+4i 10-ზე.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±4i}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4i 2-ს.

$$x=\frac{2-4i}{10}$$

გაყავით 2-4i 10-ზე.

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}-2x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}-2x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{1}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{5}$$

გაყავით -\frac{2}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{5} \frac{1}{25}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{4}{25}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}i x-\frac{1}{5}=-\frac{2}{5}i$$

მიუმატეთ \frac{1}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$