გადაწყვიტეთ 5x^2-10x-9=0

$$5 x ^ { 2 } - 10 x - 9 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{70}}{5}+1\approx 2.673320053$$

$$x=-\frac{\sqrt{70}}{5}+1\approx -0.673320053$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}-10x-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, -10-ით b და -9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე -9.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+180}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 100 180-ს.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{280}}{2\times 5}$$

აიღეთ 280-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{70}}{2\times 5}$$

-10-ის საპირისპიროა 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{70}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{10±2\sqrt{70}}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{10±2\sqrt{70}}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 10 2\sqrt{70}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{70}+10}{10}$$

გაყავით 10+2\sqrt{70} 10-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{70}}{5}+1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{10±2\sqrt{70}}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{70} 10-ს.

$$x=\frac{10-2\sqrt{70}}{10}$$

გაყავით 10-2\sqrt{70} 10-ზე.

$$x=-\frac{\sqrt{70}}{5}+1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{70}}{5}+1 x=-\frac{\sqrt{70}}{5}+1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-10x-9=0$$

მიუმატეთ 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}-10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}-10x=-\left(-9\right)$$

გამოაკელით -9 0-ს.

$$5x^{2}-10x=9$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{9}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{9}{5}$$

გაყავით -10 5-ზე.

$$x^{2}-2x=\frac{9}{5}$$

გაყავით -2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-2x+1=\frac{9}{5}+1$$

მიუმატეთ \frac{9}{5} 1-ს.

$$x^{2}-2x+1=\frac{14}{5}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{14}{5}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{14}{5}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-1=\frac{\sqrt{70}}{5} x-1=-\frac{\sqrt{70}}{5}$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{70}}{5}+1 x=-\frac{\sqrt{70}}{5}+1$$