გადაწყვიტეთ 5x^2+2x+8=0

$$5 x ^ { 2 } + 2 x + 8 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5}\approx -0.2+1.2489996i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}\approx -0.2-1.2489996i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}+2x+8=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, 2-ით b და 8-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-20\times 8}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-160}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 4 -160-ს.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-156}}{2\times 5}$$

აიღეთ -156-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 2i\sqrt{39}-ს.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{39}i}{10}$$

გაყავით -2+2i\sqrt{39} 10-ზე.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{39} -2-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{39}i-2}{10}$$

გაყავით -2-2i\sqrt{39} 10-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+2x+8=0$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}+2x+8-8=-8$$

8-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}+2x=-8$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}+2x}{5}=-\frac{8}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x=-\frac{8}{5}$$

გაყავით \frac{2}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{8}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{8}{5}+\frac{1}{25}$$

მიუმატეთ -\frac{8}{5} \frac{1}{25}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{39}{25}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{39}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{39}i}{5} x+\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{39}i}{5}$$

გამოაკელით \frac{1}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$