გადაწყვიტეთ 5x^2-12x-7=0

$$5 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{71} + 6}{5} \approx 2.885229955$$

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}\approx -0.485229955$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, -12-ით b და -7-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+140}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 144 140-ს.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{284}}{2\times 5}$$

აიღეთ 284-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

-12-ის საპირისპიროა 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 12 2\sqrt{71}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{71}+12}{10}$$

გაყავით 12+2\sqrt{71} 10-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{71} 12-ს.

$$x=\frac{12-2\sqrt{71}}{10}$$

გაყავით 12-2\sqrt{71} 10-ზე.

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

მიუმატეთ 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

გამოაკელით -7 0-ს.

$$5x^{2}-12x=7$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{7}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{7}{5}$$

გაყავით -\frac{12}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{6}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{6}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{6}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

მიუმატეთ \frac{7}{5} \frac{36}{25}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{71}{25}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{71}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{71}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{71}}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{71}}{5}$$

მიუმატეთ \frac{6}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$