გადაწყვიტეთ 5x^2+15x=12x-13

$$5 { x }^{ 2 } +15x=12x-13$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{251}i}{10}\approx -0.3+1.584297952i$$

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-3}{10}\approx -0.3-1.584297952i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

გამოაკელით 12x ორივე მხარეს.

$$5x^{2}+15x-12x=-13$$

დააჯგუფეთ 15x და -12x, რათა მიიღოთ 3x.

$$5x^{2}+3x=-13$$

დაამატეთ 13 ორივე მხარეს.

$$5x^{2}+3x+13=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, 3-ით b და 13-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5\times 13}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5\times 13}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20\times 13}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე 13.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-260}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 9 -260-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-251}}{2\times 5}$$

აიღეთ -251-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±\sqrt{251}i}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{251}i}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\sqrt{251}i}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 i\sqrt{251}-ს.

$$x=\frac{-3+\sqrt{251}i}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\sqrt{251}i}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{251} -3-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-3}{10}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-3+\sqrt{251}i}{10} x=\frac{-\sqrt{251}i-3}{10}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

გამოაკელით 12x ორივე მხარეს.

$$5x^{2}+15x-12x=-13$$

დააჯგუფეთ 15x და -12x, რათა მიიღოთ 3x.

$$5x^{2}+3x=-13$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{13}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{13}{5}$$

გაყავით \frac{3}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{10}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{10}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{13}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{10} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{13}{5}+\frac{9}{100}$$

მიუმატეთ -\frac{13}{5} \frac{9}{100}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{251}{100}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{251}{100}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{251}{100}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{251}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{251}i}{10}$$

გამოაკელით \frac{3}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-3+\sqrt{251}i}{10} x=\frac{-\sqrt{251}i-3}{10}$$