გადაწყვიტეთ 4x-3x^2+15=0

$$4x-3 { x }^{ 2 } +15=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=3$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -3x^{2}+ax+bx+15. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=4 ab=-3\times 15=-45$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -45.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 4.

$$a=9 b=-5$$

ხელახლა დაწერეთ -3x^{2}+4x+15, როგორც \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right)$$

3x-ის პირველ, 5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3x\left(-x+3\right)+5\left(-x+3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი -x+3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით -x+3=0 და 3x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -3-ით a, 4-ით b და 15-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 12-ზე 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+180}}{2\left(-3\right)}$$

მიუმატეთ 16 180-ს.

$$x=\frac{-4±\sqrt{196}}{2\left(-3\right)}$$

აიღეთ 196-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-4±14}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -3.

$$x=\frac{-4±14}{-6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±14}{-6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -4 14-ს.

$$x=\frac{10}{-6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{-6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{5}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±14}{-6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 14 -4-ს.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

გაყავით -18 -6-ზე.

$$x=3$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{5}{3} x=3$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

გამოაკელით 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x^{2}+4x+15-15=-15$$

15-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-3x^{2}+4x=-15$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=-\frac{15}{-3}$$

-3-ზე გაყოფა აუქმებს -3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=-\frac{15}{-3}$$

გაყავით 4 -3-ზე.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{15}{-3}$$

გაყავით -15 -3-ზე.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=5$$

გაყავით -\frac{4}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{2}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{2}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{2}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

მიუმატეთ 5 \frac{4}{9}-ს.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$