გადაწყვიტეთ 40x+2x(30-2x)=200

$$40x+2x(30-2x)=200$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22.807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2.192235936$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x 30-2x-ზე.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

დააჯგუფეთ 40x და 60x, რათა მიიღოთ 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

გამოაკელით 200 ორივე მხარეს.

$$100x-4x^{2}-200=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -4-ით a, 100-ით b და -200-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 100.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -4.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ 16-ზე -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

მიუმატეთ 10000 -3200-ს.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

აიღეთ 6800-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -4.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -100 20\sqrt{17}-ს.

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

გაყავით -100+20\sqrt{17} -8-ზე.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 20\sqrt{17} -100-ს.

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

გაყავით -100-20\sqrt{17} -8-ზე.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x 30-2x-ზე.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

დააჯგუფეთ 40x და 60x, რათა მიიღოთ 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+100x=200$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

-4-ზე გაყოფა აუქმებს -4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

გაყავით 100 -4-ზე.

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

გაყავით 200 -4-ზე.

$$x^{2}-25x=-50$$

გაყავით -25, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{25}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{25}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{25}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

მიუმატეთ -50 \frac{625}{4}-ს.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-25x+\frac{625}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

მიუმატეთ \frac{25}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$