გადაწყვიტეთ 4x^2-8x=1

$$4 x ^ { 2 } - 8 x = 1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{5}}{2}+1\approx 2.118033989$$

$$x=-\frac{\sqrt{5}}{2}+1\approx -0.118033989$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}-8x=1$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-8x-1=1-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}-8x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -8-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+16}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 64 16-ს.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{80}}{2\times 4}$$

აიღეთ 80-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{5}}{2\times 4}$$

-8-ის საპირისპიროა 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{5}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{8±4\sqrt{5}}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{8±4\sqrt{5}}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 8 4\sqrt{5}-ს.

$$x=\frac{4\sqrt{5}+8}{8}$$

გაყავით 8+4\sqrt{5} 8-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{5}}{2}+1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{8±4\sqrt{5}}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4\sqrt{5} 8-ს.

$$x=\frac{8-4\sqrt{5}}{8}$$

გაყავით 8-4\sqrt{5} 8-ზე.

$$x=-\frac{\sqrt{5}}{2}+1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{5}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{5}}{2}+1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-8x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=\frac{1}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=\frac{1}{4}$$

გაყავით -8 4-ზე.

$$x^{2}-2x=\frac{1}{4}$$

გაყავით -2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-2x+1=\frac{1}{4}+1$$

მიუმატეთ \frac{1}{4} 1-ს.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-1=\frac{\sqrt{5}}{2} x-1=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{5}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{5}}{2}+1$$