გადაწყვიტეთ 4x^2+44x+96=0

$$4 x ^ { 2 } + 44 x + 96 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-8$$

$$x=-3$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x^{2}+11x+24=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx+24. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=11 ab=1\times 24=24$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 11.

$$a=3 b=8$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+11x+24, როგორც \left(x^{2}+3x\right)+\left(8x+24\right).

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(8x+24\right)$$

x-ის პირველ, 8-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x+3\right)+8\left(x+3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x+3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x+3\right)\left(x+8\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x+3=0 და x+8=0.

$$x=-3 x=-8$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}+44x+96=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 44-ით b და 96-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\times 4\times 96}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 44.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\times 4\times 96}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-16\times 96}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე 96.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1536}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 1936 -1536-ს.

$$x=\frac{-44±\sqrt{400}}{2\times 4}$$

აიღეთ 400-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-44±20}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-44±20}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-44±20}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -44 20-ს.

$$x=-\frac{24}{8}$$

გაყავით -24 8-ზე.

$$x=-3$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-44±20}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 20 -44-ს.

$$x=-\frac{64}{8}$$

გაყავით -64 8-ზე.

$$x=-8$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-3 x=-8$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+44x+96=0$$

გამოაკელით 96 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+44x+96-96=-96$$

96-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+44x=-96$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+44x}{4}=-\frac{96}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{44}{4}x=-\frac{96}{4}$$

გაყავით 44 4-ზე.

$$x^{2}+11x=-\frac{96}{4}$$

გაყავით -96 4-ზე.

$$x^{2}+11x=-24$$

გაყავით 11, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{11}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{11}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{11}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

მიუმატეთ -24 \frac{121}{4}-ს.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+11x+\frac{121}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{11}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

გამოაკელით \frac{11}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-3 x=-8$$