გადაწყვიტეთ 4x^2+3x-10=0

$$4 x ^ { 2 } + 3 x - 10 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-2$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 4x^{2}+ax+bx-10. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=4\left(-10\right)=-40$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 3.

$$a=-5 b=8$$

ხელახლა დაწერეთ 4x^{2}+3x-10, როგორც \left(4x^{2}-5x\right)+\left(8x-10\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(8x-10\right)$$

x-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(4x-5\right)+2\left(4x-5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 4x-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(4x-5\right)\left(x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 4x-5=0 და x+2=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-2$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}+3x-10=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 3-ით b და -10-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -10.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 9 160-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

აიღეთ 169-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±13}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-3±13}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±13}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 13-ს.

$$x=\frac{10}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{5}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±13}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 13 -3-ს.

$$x=-\frac{16}{8}$$

გაყავით -16 8-ზე.

$$x=-2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{4} x=-2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+3x-10=0$$

მიუმატეთ 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+3x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

-10-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+3x=-\left(-10\right)$$

გამოაკელით -10 0-ს.

$$4x^{2}+3x=10$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+3x}{4}=\frac{10}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{10}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{5}{2}$$

გაყავით \frac{3}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} \frac{9}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{169}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{13}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{13}{8}$$

გამოაკელით \frac{3}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5}{4} x=-2$$